New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  isotr GIF version

Theorem isotr 5495
 Description: Composition (transitive) law for isomorphism. Proposition 6.30(3) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by set.mm contributors, 27-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
isotr ((H Isom R, S (A, B) G Isom S, T (B, C)) → (G H) Isom R, T (A, C))

Proof of Theorem isotr
Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oco 5308 . . . . 5 ((G:B1-1-ontoC H:A1-1-ontoB) → (G H):A1-1-ontoC)
21ad2ant2r 727 . . . 4 (((G:B1-1-ontoC u B v B (uSv ↔ (Gu)T(Gv))) (H:A1-1-ontoB z A w A (zRw ↔ (Hz)S(Hw)))) → (G H):A1-1-ontoC)
32ancoms 439 . . 3 (((H:A1-1-ontoB z A w A (zRw ↔ (Hz)S(Hw))) (G:B1-1-ontoC u B v B (uSv ↔ (Gu)T(Gv)))) → (G H):A1-1-ontoC)
4 f1of 5287 . . . . . . . . 9 (H:A1-1-ontoBH:A–→B)
5 ffvelrn 5415 . . . . . . . . . . 11 ((H:A–→B x A) → (Hx) B)
65ex 423 . . . . . . . . . 10 (H:A–→B → (x A → (Hx) B))
7 ffvelrn 5415 . . . . . . . . . . 11 ((H:A–→B y A) → (Hy) B)
87ex 423 . . . . . . . . . 10 (H:A–→B → (y A → (Hy) B))
96, 8anim12d 546 . . . . . . . . 9 (H:A–→B → ((x A y A) → ((Hx) B (Hy) B)))
104, 9syl 15 . . . . . . . 8 (H:A1-1-ontoB → ((x A y A) → ((Hx) B (Hy) B)))
1110adantr 451 . . . . . . 7 ((H:A1-1-ontoB z A w A (zRw ↔ (Hz)S(Hw))) → ((x A y A) → ((Hx) B (Hy) B)))
12 breq1 4642 . . . . . . . . . . 11 (u = (Hx) → (uSv ↔ (Hx)Sv))
13 fveq2 5328 . . . . . . . . . . . 12 (u = (Hx) → (Gu) = (G ‘(Hx)))
1413breq1d 4649 . . . . . . . . . . 11 (u = (Hx) → ((Gu)T(Gv) ↔ (G ‘(Hx))T(Gv)))
1512, 14bibi12d 312 . . . . . . . . . 10 (u = (Hx) → ((uSv ↔ (Gu)T(Gv)) ↔ ((Hx)Sv ↔ (G ‘(Hx))T(Gv))))
16 breq2 4643 . . . . . . . . . . 11 (v = (Hy) → ((Hx)Sv ↔ (Hx)S(Hy)))
17 fveq2 5328 . . . . . . . . . . . 12 (v = (Hy) → (Gv) = (G ‘(Hy)))
1817breq2d 4651 . . . . . . . . . . 11 (v = (Hy) → ((G ‘(Hx))T(Gv) ↔ (G ‘(Hx))T(G ‘(Hy))))
1916, 18bibi12d 312 . . . . . . . . . 10 (v = (Hy) → (((Hx)Sv ↔ (G ‘(Hx))T(Gv)) ↔ ((Hx)S(Hy) ↔ (G ‘(Hx))T(G ‘(Hy)))))
2015, 19rspc2v 2961 . . . . . . . . 9 (((Hx) B (Hy) B) → (u B v B (uSv ↔ (Gu)T(Gv)) → ((Hx)S(Hy) ↔ (G ‘(Hx))T(G ‘(Hy)))))
2120com12 27 . . . . . . . 8 (u B v B (uSv ↔ (Gu)T(Gv)) → (((Hx) B (Hy) B) → ((Hx)S(Hy) ↔ (G ‘(Hx))T(G ‘(Hy)))))
2221adantl 452 . . . . . . 7 ((G:B1-1-ontoC u B v B (uSv ↔ (Gu)T(Gv))) → (((Hx) B (Hy) B) → ((Hx)S(Hy) ↔ (G ‘(Hx))T(G ‘(Hy)))))
2311, 22sylan9 638 . . . . . 6 (((H:A1-1-ontoB z A w A (zRw ↔ (Hz)S(Hw))) (G:B1-1-ontoC u B v B (uSv ↔ (Gu)T(Gv)))) → ((x A y A) → ((Hx)S(Hy) ↔ (G ‘(Hx))T(G ‘(Hy)))))
2423imp 418 . . . . 5 ((((H:A1-1-ontoB z A w A (zRw ↔ (Hz)S(Hw))) (G:B1-1-ontoC u B v B (uSv ↔ (Gu)T(Gv)))) (x A y A)) → ((Hx)S(Hy) ↔ (G ‘(Hx))T(G ‘(Hy))))
25 breq1 4642 . . . . . . . . . 10 (z = x → (zRwxRw))
26 fveq2 5328 . . . . . . . . . . 11 (z = x → (Hz) = (Hx))
2726breq1d 4649 . . . . . . . . . 10 (z = x → ((Hz)S(Hw) ↔ (Hx)S(Hw)))
2825, 27bibi12d 312 . . . . . . . . 9 (z = x → ((zRw ↔ (Hz)S(Hw)) ↔ (xRw ↔ (Hx)S(Hw))))
29 breq2 4643 . . . . . . . . . 10 (w = y → (xRwxRy))
30 fveq2 5328 . . . . . . . . . . 11 (w = y → (Hw) = (Hy))
3130breq2d 4651 . . . . . . . . . 10 (w = y → ((Hx)S(Hw) ↔ (Hx)S(Hy)))
3229, 31bibi12d 312 . . . . . . . . 9 (w = y → ((xRw ↔ (Hx)S(Hw)) ↔ (xRy ↔ (Hx)S(Hy))))
3328, 32rspc2v 2961 . . . . . . . 8 ((x A y A) → (z A w A (zRw ↔ (Hz)S(Hw)) → (xRy ↔ (Hx)S(Hy))))
3433impcom 419 . . . . . . 7 ((z A w A (zRw ↔ (Hz)S(Hw)) (x A y A)) → (xRy ↔ (Hx)S(Hy)))
3534adantll 694 . . . . . 6 (((H:A1-1-ontoB z A w A (zRw ↔ (Hz)S(Hw))) (x A y A)) → (xRy ↔ (Hx)S(Hy)))
3635adantlr 695 . . . . 5 ((((H:A1-1-ontoB z A w A (zRw ↔ (Hz)S(Hw))) (G:B1-1-ontoC u B v B (uSv ↔ (Gu)T(Gv)))) (x A y A)) → (xRy ↔ (Hx)S(Hy)))
374ad2antrr 706 . . . . . 6 (((H:A1-1-ontoB z A w A (zRw ↔ (Hz)S(Hw))) (G:B1-1-ontoC u B v B (uSv ↔ (Gu)T(Gv)))) → H:A–→B)
38 fvco3 5384 . . . . . . . 8 ((H:A–→B x A) → ((G H) ‘x) = (G ‘(Hx)))
39 fvco3 5384 . . . . . . . 8 ((H:A–→B y A) → ((G H) ‘y) = (G ‘(Hy)))
4038, 39breqan12d 4654 . . . . . . 7 (((H:A–→B x A) (H:A–→B y A)) → (((G H) ‘x)T((G H) ‘y) ↔ (G ‘(Hx))T(G ‘(Hy))))
4140anandis 803 . . . . . 6 ((H:A–→B (x A y A)) → (((G H) ‘x)T((G H) ‘y) ↔ (G ‘(Hx))T(G ‘(Hy))))
4237, 41sylan 457 . . . . 5 ((((H:A1-1-ontoB z A w A (zRw ↔ (Hz)S(Hw))) (G:B1-1-ontoC u B v B (uSv ↔ (Gu)T(Gv)))) (x A y A)) → (((G H) ‘x)T((G H) ‘y) ↔ (G ‘(Hx))T(G ‘(Hy))))
4324, 36, 423bitr4d 276 . . . 4 ((((H:A1-1-ontoB z A w A (zRw ↔ (Hz)S(Hw))) (G:B1-1-ontoC u B v B (uSv ↔ (Gu)T(Gv)))) (x A y A)) → (xRy ↔ ((G H) ‘x)T((G H) ‘y)))
4443ralrimivva 2706 . . 3 (((H:A1-1-ontoB z A w A (zRw ↔ (Hz)S(Hw))) (G:B1-1-ontoC u B v B (uSv ↔ (Gu)T(Gv)))) → x A y A (xRy ↔ ((G H) ‘x)T((G H) ‘y)))
453, 44jca 518 . 2 (((H:A1-1-ontoB z A w A (zRw ↔ (Hz)S(Hw))) (G:B1-1-ontoC u B v B (uSv ↔ (Gu)T(Gv)))) → ((G H):A1-1-ontoC x A y A (xRy ↔ ((G H) ‘x)T((G H) ‘y))))
46 df-iso 4796 . . 3 (H Isom R, S (A, B) ↔ (H:A1-1-ontoB z A w A (zRw ↔ (Hz)S(Hw))))
47 df-iso 4796 . . 3 (G Isom S, T (B, C) ↔ (G:B1-1-ontoC u B v B (uSv ↔ (Gu)T(Gv))))
4846, 47anbi12i 678 . 2 ((H Isom R, S (A, B) G Isom S, T (B, C)) ↔ ((H:A1-1-ontoB z A w A (zRw ↔ (Hz)S(Hw))) (G:B1-1-ontoC u B v B (uSv ↔ (Gu)T(Gv)))))
49 df-iso 4796 . 2 ((G H) Isom R, T (A, C) ↔ ((G H):A1-1-ontoC x A y A (xRy ↔ ((G H) ‘x)T((G H) ‘y))))
5045, 48, 493imtr4i 257 1 ((H Isom R, S (A, B) G Isom S, T (B, C)) → (G H) Isom R, T (A, C))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∀wral 2614   class class class wbr 4639   ∘ ccom 4721  –→wf 4777  –1-1-onto→wf1o 4780   ‘cfv 4781   Isom wiso 4782 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-co 4726  df-ima 4727  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-iso 4796 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator