Theorem nclennlem1 6249

Description: Lemma for nclenn 6250. Set up stratification for induction. (Contributed by SF, 19-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nclennlem1	|- {x | A.n e. NC (n <_c x -> n e. Nn )} e. _V

Distinct variable group:   x,n

Proof of Theorem nclennlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2863	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	elcompl 3226	. . . 4 |- (x e. ∼ (( <_c |` ∼ Nn )" NC ) <-> -. x e. (( <_c |` ∼ Nn )" NC ))
3		elima 4755	. . . . . 6 |- (x e. (( <_c |` ∼ Nn )" NC ) <-> E.n e. NC n( <_c |` ∼ Nn )x)
4		brres 4950	. . . . . . . 8 |- (n( <_c |` ∼ Nn )x <-> (n <_c x /\ n e. ∼ Nn ))
5		vex 2863	. . . . . . . . . 10 |- n e. _V
6	5	elcompl 3226	. . . . . . . . 9 |- (n e. ∼ Nn <-> -. n e. Nn )
7	6	anbi2i 675	. . . . . . . 8 |- ((n <_c x /\ n e. ∼ Nn ) <-> (n <_c x /\ -. n e. Nn ))
8	4, 7	bitri 240	. . . . . . 7 |- (n( <_c |` ∼ Nn )x <-> (n <_c x /\ -. n e. Nn ))
9	8	rexbii 2640	. . . . . 6 |- (E.n e. NC n( <_c |` ∼ Nn )x <-> E.n e. NC (n <_c x /\ -. n e. Nn ))
10		rexanali 2661	. . . . . 6 |- (E.n e. NC (n <_c x /\ -. n e. Nn ) <-> -. A.n e. NC (n <_c x -> n e. Nn ))
11	3, 9, 10	3bitrri 263	. . . . 5 |- (-. A.n e. NC (n <_c x -> n e. Nn ) <-> x e. (( <_c |` ∼ Nn )" NC ))
12	11	con1bii 321	. . . 4 |- (-. x e. (( <_c |` ∼ Nn )" NC ) <-> A.n e. NC (n <_c x -> n e. Nn ))
13	2, 12	bitri 240	. . 3 |- (x e. ∼ (( <_c |` ∼ Nn )" NC ) <-> A.n e. NC (n <_c x -> n e. Nn ))
14	13	abbi2i 2465	. 2 |- ∼ (( <_c |` ∼ Nn )" NC ) = {x | A.n e. NC (n <_c x -> n e. Nn )}
15		lecex 6116	. . . . 5 |- <_c e. _V
16		nncex 4397	. . . . . 6 |- Nn e. _V
17	16	complex 4105	. . . . 5 |- ∼ Nn e. _V
18	15, 17	resex 5118	. . . 4 |- ( <_c |` ∼ Nn ) e. _V
19		ncsex 6112	. . . 4 |- NC e. _V
20	18, 19	imaex 4748	. . 3 |- (( <_c |` ∼ Nn )" NC ) e. _V
21	20	complex 4105	. 2 |- ∼ (( <_c |` ∼ Nn )" NC ) e. _V
22	14, 21	eqeltrri 2424	1 |- {x | A.n e. NC (n <_c x -> n e. Nn )} e. _V

Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 358   e. wcel 1710  {cab 2339  A.wral 2615  E.wrex 2616  _Vcvv 2860   ∼ ccompl 3206   Nn cnnc 4374   class class class wbr 4640  "cima 4723   |` cres 4775   NC cncs 6089   <__c clec 6090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-swap 4725  df-sset 4726  df-co 4727  df-ima 4728  df-si 4729  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789  df-fun 4790  df-fn 4791  df-f 4792  df-f1 4793  df-fo 4794  df-f1o 4795  df-2nd 4798  df-txp 5737  df-ins2 5751  df-ins3 5753  df-image 5755  df-ins4 5757  df-si3 5759  df-funs 5761  df-fns 5763  df-ec 5948  df-qs 5952  df-en 6030  df-ncs 6099  df-lec 6100

This theorem is referenced by:  nclenn  6250