Theorem nclenn 6250

Description: A cardinal that is less than or equal to a natural is a natural. Theorem XI.3.3 of [Rosser] p. 391. (Contributed by SF, 19-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nclenn	|- ((M e. NC /\ N e. Nn /\ M <_c N) -> M e. Nn )

Proof of Theorem nclenn

Dummy variables m n p q x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nclennlem1 6249	. . . . 5 |- {x | A.n e. NC (n <_c x -> n e. Nn )} e. _V
2		breq2 4644	. . . . . . 7 |- (x = 0c -> (n <_c x <-> n <_c 0c))
3	2	imbi1d 308	. . . . . 6 |- (x = 0c -> ((n <_c x -> n e. Nn ) <-> (n <_c 0c -> n e. Nn )))
4	3	ralbidv 2635	. . . . 5 |- (x = 0c -> (A.n e. NC (n <_c x -> n e. Nn ) <-> A.n e. NC (n <_c 0c -> n e. Nn )))
5		breq2 4644	. . . . . . 7 |- (x = m -> (n <_c x <-> n <_c m))
6	5	imbi1d 308	. . . . . 6 |- (x = m -> ((n <_c x -> n e. Nn ) <-> (n <_c m -> n e. Nn )))
7	6	ralbidv 2635	. . . . 5 |- (x = m -> (A.n e. NC (n <_c x -> n e. Nn ) <-> A.n e. NC (n <_c m -> n e. Nn )))
8		breq2 4644	. . . . . . 7 |- (x = (m +o 1c) -> (n <_c x <-> n <_c (m +o 1c)))
9	8	imbi1d 308	. . . . . 6 |- (x = (m +o 1c) -> ((n <_c x -> n e. Nn ) <-> (n <_c (m +o 1c) -> n e. Nn )))
10	9	ralbidv 2635	. . . . 5 |- (x = (m +o 1c) -> (A.n e. NC (n <_c x -> n e. Nn ) <-> A.n e. NC (n <_c (m +o 1c) -> n e. Nn )))
11		breq2 4644	. . . . . . 7 |- (x = N -> (n <_c x <-> n <_c N))
12	11	imbi1d 308	. . . . . 6 |- (x = N -> ((n <_c x -> n e. Nn ) <-> (n <_c N -> n e. Nn )))
13	12	ralbidv 2635	. . . . 5 |- (x = N -> (A.n e. NC (n <_c x -> n e. Nn ) <-> A.n e. NC (n <_c N -> n e. Nn )))
14		le0nc 6201	. . . . . . 7 |- (n e. NC -> 0c <_c n)
15		0cnc 6139	. . . . . . . . . . 11 |- 0c e. NC
16		sbth 6207	. . . . . . . . . . 11 |- ((n e. NC /\ 0c e. NC ) -> ((n <_c 0c /\ 0c <_c n) -> n = 0c))
17	15, 16	mpan2 652	. . . . . . . . . 10 |- (n e. NC -> ((n <_c 0c /\ 0c <_c n) -> n = 0c))
18	17	imp 418	. . . . . . . . 9 |- ((n e. NC /\ (n <_c 0c /\ 0c <_c n)) -> n = 0c)
19		peano1 4403	. . . . . . . . 9 |- 0c e. Nn
20	18, 19	syl6eqel 2441	. . . . . . . 8 |- ((n e. NC /\ (n <_c 0c /\ 0c <_c n)) -> n e. Nn )
21	20	ex 423	. . . . . . 7 |- (n e. NC -> ((n <_c 0c /\ 0c <_c n) -> n e. Nn ))
22	14, 21	mpan2d 655	. . . . . 6 |- (n e. NC -> (n <_c 0c -> n e. Nn ))
23	22	rgen 2680	. . . . 5 |- A.n e. NC (n <_c 0c -> n e. Nn )
24		peano2 4404	. . . . . . . . . . . 12 |- (m e. Nn -> (m +o 1c) e. Nn )
25		nnnc 6147	. . . . . . . . . . . 12 |- ((m +o 1c) e. Nn -> (m +o 1c) e. NC )
26	24, 25	syl 15	. . . . . . . . . . 11 |- (m e. Nn -> (m +o 1c) e. NC )
27		dflec2 6211	. . . . . . . . . . 11 |- ((n e. NC /\ (m +o 1c) e. NC ) -> (n <_c (m +o 1c) <-> E.p e. NC (m +o 1c) = (n +o p)))
28	26, 27	sylan2 460	. . . . . . . . . 10 |- ((n e. NC /\ m e. Nn ) -> (n <_c (m +o 1c) <-> E.p e. NC (m +o 1c) = (n +o p)))
29	28	ancoms 439	. . . . . . . . 9 |- ((m e. Nn /\ n e. NC ) -> (n <_c (m +o 1c) <-> E.p e. NC (m +o 1c) = (n +o p)))
30	29	3adant3 975	. . . . . . . 8 |- ((m e. Nn /\ n e. NC /\ (n <_c m -> n e. Nn )) -> (n <_c (m +o 1c) <-> E.p e. NC (m +o 1c) = (n +o p)))
31		nc0suc 6218	. . . . . . . . . 10 |- (p e. NC -> (p = 0c \/ E.q e. NC p = (q +o 1c)))
32		addceq2 4385	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (p = 0c -> (n +o p) = (n +o 0c))
33		addcid1 4406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (n +o 0c) = n
34	32, 33	syl6eq 2401	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (p = 0c -> (n +o p) = n)
35	34	eqeq2d 2364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (p = 0c -> ((m +o 1c) = (n +o p) <-> (m +o 1c) = n))
36	35	biimpa 470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((p = 0c /\ (m +o 1c) = (n +o p)) -> (m +o 1c) = n)
37		eleq1 2413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((m +o 1c) = n -> ((m +o 1c) e. Nn <-> n e. Nn ))
38	37	biimpcd 215	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((m +o 1c) e. Nn -> ((m +o 1c) = n -> n e. Nn ))
39	36, 38	syl5 28	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((m +o 1c) e. Nn -> ((p = 0c /\ (m +o 1c) = (n +o p)) -> n e. Nn ))
40	39	exp3a 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((m +o 1c) e. Nn -> (p = 0c -> ((m +o 1c) = (n +o p) -> n e. Nn )))
41	24, 40	syl 15	. . . . . . . . . . . 12 |- (m e. Nn -> (p = 0c -> ((m +o 1c) = (n +o p) -> n e. Nn )))
42	41	3ad2ant1 976	. . . . . . . . . . 11 |- ((m e. Nn /\ n e. NC /\ (n <_c m -> n e. Nn )) -> (p = 0c -> ((m +o 1c) = (n +o p) -> n e. Nn )))
43		addceq2 4385	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (p = (q +o 1c) -> (n +o p) = (n +o (q +o 1c)))
44		addcass 4416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((n +o q) +o 1c) = (n +o (q +o 1c))
45	43, 44	syl6eqr 2403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (p = (q +o 1c) -> (n +o p) = ((n +o q) +o 1c))
46	45	eqeq2d 2364	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (p = (q +o 1c) -> ((m +o 1c) = (n +o p) <-> (m +o 1c) = ((n +o q) +o 1c)))
47	46	biimpa 470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((p = (q +o 1c) /\ (m +o 1c) = (n +o p)) -> (m +o 1c) = ((n +o q) +o 1c))
48		nnnc 6147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (m e. Nn -> m e. NC )
49	48	3ad2ant1 976	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((m e. Nn /\ n e. NC /\ (n <_c m -> n e. Nn )) -> m e. NC )
50	49	adantr 451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((m e. Nn /\ n e. NC /\ (n <_c m -> n e. Nn )) /\ q e. NC ) -> m e. NC )
51		ncaddccl 6145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((n e. NC /\ q e. NC ) -> (n +o q) e. NC )
52	51	3ad2antl2 1118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((m e. Nn /\ n e. NC /\ (n <_c m -> n e. Nn )) /\ q e. NC ) -> (n +o q) e. NC )
53		peano4nc 6151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((m e. NC /\ (n +o q) e. NC ) -> ((m +o 1c) = ((n +o q) +o 1c) <-> m = (n +o q)))
54	50, 52, 53	syl2anc 642	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((m e. Nn /\ n e. NC /\ (n <_c m -> n e. Nn )) /\ q e. NC ) -> ((m +o 1c) = ((n +o q) +o 1c) <-> m = (n +o q)))
55		addlecncs 6210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((n e. NC /\ q e. NC ) -> n <_c (n +o q))
56		breq2 4644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (m = (n +o q) -> (n <_c m <-> n <_c (n +o q)))
57	55, 56	syl5ibrcom 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((n e. NC /\ q e. NC ) -> (m = (n +o q) -> n <_c m))
58	57	ex 423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (n e. NC -> (q e. NC -> (m = (n +o q) -> n <_c m)))
59	58	com23 72	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (n e. NC -> (m = (n +o q) -> (q e. NC -> n <_c m)))
60	59	adantl 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((m e. Nn /\ n e. NC ) -> (m = (n +o q) -> (q e. NC -> n <_c m)))
61		pm2.27 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (n <_c m -> ((n <_c m -> n e. Nn ) -> n e. Nn ))
62	60, 61	syl8 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((m e. Nn /\ n e. NC ) -> (m = (n +o q) -> (q e. NC -> ((n <_c m -> n e. Nn ) -> n e. Nn ))))
63	62	com24 81	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((m e. Nn /\ n e. NC ) -> ((n <_c m -> n e. Nn ) -> (q e. NC -> (m = (n +o q) -> n e. Nn ))))
64	63	3impia 1148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((m e. Nn /\ n e. NC /\ (n <_c m -> n e. Nn )) -> (q e. NC -> (m = (n +o q) -> n e. Nn )))
65	64	imp 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((m e. Nn /\ n e. NC /\ (n <_c m -> n e. Nn )) /\ q e. NC ) -> (m = (n +o q) -> n e. Nn ))
66	54, 65	sylbid 206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((m e. Nn /\ n e. NC /\ (n <_c m -> n e. Nn )) /\ q e. NC ) -> ((m +o 1c) = ((n +o q) +o 1c) -> n e. Nn ))
67	47, 66	syl5 28	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((m e. Nn /\ n e. NC /\ (n <_c m -> n e. Nn )) /\ q e. NC ) -> ((p = (q +o 1c) /\ (m +o 1c) = (n +o p)) -> n e. Nn ))
68	67	exp3a 425	. . . . . . . . . . . 12 |- (((m e. Nn /\ n e. NC /\ (n <_c m -> n e. Nn )) /\ q e. NC ) -> (p = (q +o 1c) -> ((m +o 1c) = (n +o p) -> n e. Nn )))
69	68	rexlimdva 2739	. . . . . . . . . . 11 |- ((m e. Nn /\ n e. NC /\ (n <_c m -> n e. Nn )) -> (E.q e. NC p = (q +o 1c) -> ((m +o 1c) = (n +o p) -> n e. Nn )))
70	42, 69	jaod 369	. . . . . . . . . 10 |- ((m e. Nn /\ n e. NC /\ (n <_c m -> n e. Nn )) -> ((p = 0c \/ E.q e. NC p = (q +o 1c)) -> ((m +o 1c) = (n +o p) -> n e. Nn )))
71	31, 70	syl5 28	. . . . . . . . 9 |- ((m e. Nn /\ n e. NC /\ (n <_c m -> n e. Nn )) -> (p e. NC -> ((m +o 1c) = (n +o p) -> n e. Nn )))
72	71	rexlimdv 2738	. . . . . . . 8 |- ((m e. Nn /\ n e. NC /\ (n <_c m -> n e. Nn )) -> (E.p e. NC (m +o 1c) = (n +o p) -> n e. Nn ))
73	30, 72	sylbid 206	. . . . . . 7 |- ((m e. Nn /\ n e. NC /\ (n <_c m -> n e. Nn )) -> (n <_c (m +o 1c) -> n e. Nn ))
74	73	3expia 1153	. . . . . 6 |- ((m e. Nn /\ n e. NC ) -> ((n <_c m -> n e. Nn ) -> (n <_c (m +o 1c) -> n e. Nn )))
75	74	ralimdva 2693	. . . . 5 |- (m e. Nn -> (A.n e. NC (n <_c m -> n e. Nn ) -> A.n e. NC (n <_c (m +o 1c) -> n e. Nn )))
76	1, 4, 7, 10, 13, 23, 75	finds 4412	. . . 4 |- (N e. Nn -> A.n e. NC (n <_c N -> n e. Nn ))
77		breq1 4643	. . . . . 6 |- (n = M -> (n <_c N <-> M <_c N))
78		eleq1 2413	. . . . . 6 |- (n = M -> (n e. Nn <-> M e. Nn ))
79	77, 78	imbi12d 311	. . . . 5 |- (n = M -> ((n <_c N -> n e. Nn ) <-> (M <_c N -> M e. Nn )))
80	79	rspccv 2953	. . . 4 |- (A.n e. NC (n <_c N -> n e. Nn ) -> (M e. NC -> (M <_c N -> M e. Nn )))
81	76, 80	syl 15	. . 3 |- (N e. Nn -> (M e. NC -> (M <_c N -> M e. Nn )))
82	81	com12 27	. 2 |- (M e. NC -> (N e. Nn -> (M <_c N -> M e. Nn )))
83	82	3imp 1145	1 |- ((M e. NC /\ N e. Nn /\ M <_c N) -> M e. Nn )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176   \/ wo 357   /\ wa 358   /\ w3a 934   = wceq 1642   e. wcel 1710  A.wral 2615  E.wrex 2616  1_cc1c 4135   Nn cnnc 4374  0_cc0c 4375   +o cplc 4376   class class class wbr 4640   NC cncs 6089   <__c clec 6090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-swap 4725  df-sset 4726  df-co 4727  df-ima 4728  df-si 4729  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789  df-fun 4790  df-fn 4791  df-f 4792  df-f1 4793  df-fo 4794  df-f1o 4795  df-fv 4796  df-2nd 4798  df-txp 5737  df-fix 5741  df-ins2 5751  df-ins3 5753  df-image 5755  df-ins4 5757  df-si3 5759  df-funs 5761  df-fns 5763  df-clos1 5874  df-trans 5900  df-sym 5909  df-er 5910  df-ec 5948  df-qs 5952  df-en 6030  df-ncs 6099  df-lec 6100  df-nc 6102

This theorem is referenced by:  nchoicelem17  6306