Theorem hashunlem 10550

Description: Lemma for hashun 10551. Ordinal size of the union. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashunlem.a	|- ( ph -> A e. Fin )
hashunlem.b	|- ( ph -> B e. Fin )
hashunlem.disj	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
hashunlem.n	|- ( ph -> N e. om )
hashunlem.m	|- ( ph -> M e. om )
hashunlem.an	|- ( ph -> A ~~ N )
hashunlem.bm	|- ( ph -> B ~~ M )

Assertion

Ref	Expression
hashunlem	|- ( ph -> ( A u. B ) ~~ ( N +o M ) )

Proof of Theorem hashunlem

Dummy variables j w k y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3932	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( w ~~ j <-> (/) ~~ j ) )
2		uneq2 3224	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( A u. w ) = ( A u. (/) ) )
3	2	breq1d 3939	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( A u. w ) ~~ ( N +o j ) <-> ( A u. (/) ) ~~ ( N +o j ) ) )
4	1, 3	anbi12d 464	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( w ~~ j /\ ( A u. w ) ~~ ( N +o j ) ) <-> ( (/) ~~ j /\ ( A u. (/) ) ~~ ( N +o j ) ) ) )
5	4	rexbidv 2438	. . 3 |- ( w = (/) -> ( E. j e. om ( w ~~ j /\ ( A u. w ) ~~ ( N +o j ) ) <-> E. j e. om ( (/) ~~ j /\ ( A u. (/) ) ~~ ( N +o j ) ) ) )
6		breq1 3932	. . . . 5 |- ( w = y -> ( w ~~ j <-> y ~~ j ) )
7		uneq2 3224	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( A u. w ) = ( A u. y ) )
8	7	breq1d 3939	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( A u. w ) ~~ ( N +o j ) <-> ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) )
9	6, 8	anbi12d 464	. . . 4 |- ( w = y -> ( ( w ~~ j /\ ( A u. w ) ~~ ( N +o j ) ) <-> ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) )
10	9	rexbidv 2438	. . 3 |- ( w = y -> ( E. j e. om ( w ~~ j /\ ( A u. w ) ~~ ( N +o j ) ) <-> E. j e. om ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) )
11		breq1 3932	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( w ~~ j <-> ( y u. { z } ) ~~ j ) )
12		uneq2 3224	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( A u. w ) = ( A u. ( y u. { z } ) ) )
13	12	breq1d 3939	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( A u. w ) ~~ ( N +o j ) <-> ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o j ) ) )
14	11, 13	anbi12d 464	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( w ~~ j /\ ( A u. w ) ~~ ( N +o j ) ) <-> ( ( y u. { z } ) ~~ j /\ ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o j ) ) ) )
15	14	rexbidv 2438	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( E. j e. om ( w ~~ j /\ ( A u. w ) ~~ ( N +o j ) ) <-> E. j e. om ( ( y u. { z } ) ~~ j /\ ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o j ) ) ) )
16		breq1 3932	. . . . 5 |- ( w = B -> ( w ~~ j <-> B ~~ j ) )
17		uneq2 3224	. . . . . 6 |- ( w = B -> ( A u. w ) = ( A u. B ) )
18	17	breq1d 3939	. . . . 5 |- ( w = B -> ( ( A u. w ) ~~ ( N +o j ) <-> ( A u. B ) ~~ ( N +o j ) ) )
19	16, 18	anbi12d 464	. . . 4 |- ( w = B -> ( ( w ~~ j /\ ( A u. w ) ~~ ( N +o j ) ) <-> ( B ~~ j /\ ( A u. B ) ~~ ( N +o j ) ) ) )
20	19	rexbidv 2438	. . 3 |- ( w = B -> ( E. j e. om ( w ~~ j /\ ( A u. w ) ~~ ( N +o j ) ) <-> E. j e. om ( B ~~ j /\ ( A u. B ) ~~ ( N +o j ) ) ) )
21		peano1 4508	. . . . 5 |- (/) e. om
22	21	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> (/) e. om )
23		0ex 4055	. . . . . 6 |- (/) e. _V
24	23	enref 6659	. . . . 5 |- (/) ~~ (/)
25	24	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> (/) ~~ (/) )
26		hashunlem.an	. . . . 5 |- ( ph -> A ~~ N )
27		un0 3396	. . . . . 6 |- ( A u. (/) ) = A
28	27	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> ( A u. (/) ) = A )
29		hashunlem.n	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. om )
30		nna0 6370	. . . . . 6 |- ( N e. om -> ( N +o (/) ) = N )
31	29, 30	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( N +o (/) ) = N )
32	26, 28, 31	3brtr4d 3960	. . . 4 |- ( ph -> ( A u. (/) ) ~~ ( N +o (/) ) )
33		breq2 3933	. . . . . 6 |- ( j = (/) -> ( (/) ~~ j <-> (/) ~~ (/) ) )
34		oveq2 5782	. . . . . . 7 |- ( j = (/) -> ( N +o j ) = ( N +o (/) ) )
35	34	breq2d 3941	. . . . . 6 |- ( j = (/) -> ( ( A u. (/) ) ~~ ( N +o j ) <-> ( A u. (/) ) ~~ ( N +o (/) ) ) )
36	33, 35	anbi12d 464	. . . . 5 |- ( j = (/) -> ( ( (/) ~~ j /\ ( A u. (/) ) ~~ ( N +o j ) ) <-> ( (/) ~~ (/) /\ ( A u. (/) ) ~~ ( N +o (/) ) ) ) )
37	36	rspcev 2789	. . . 4 |- ( ( (/) e. om /\ ( (/) ~~ (/) /\ ( A u. (/) ) ~~ ( N +o (/) ) ) ) -> E. j e. om ( (/) ~~ j /\ ( A u. (/) ) ~~ ( N +o j ) ) )
38	22, 25, 32, 37	syl12anc 1214	. . 3 |- ( ph -> E. j e. om ( (/) ~~ j /\ ( A u. (/) ) ~~ ( N +o j ) ) )
39		peano2 4509	. . . . . . . 8 |- ( j e. om -> suc j e. om )
40	39	ad2antlr 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> suc j e. om )
41		simp-4r 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> y e. Fin )
42		vex 2689	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
43	42	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> z e. _V )
44		simprr 521	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) -> z e. ( B \ y ) )
45	44	ad2antrr 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> z e. ( B \ y ) )
46	45	eldifbd 3083	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> -. z e. y )
47	43, 46	eldifd 3081	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> z e. ( _V \ y ) )
48		simplr 519	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> j e. om )
49		simprl 520	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> y ~~ j )
50		fiunsnnn 6775	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ z e. ( _V \ y ) ) /\ ( j e. om /\ y ~~ j ) ) -> ( y u. { z } ) ~~ suc j )
51	41, 47, 48, 49, 50	syl22anc 1217	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> ( y u. { z } ) ~~ suc j )
52		hashunlem.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. Fin )
53	52	ad4antr 485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> A e. Fin )
54		simprl 520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) -> y C_ B )
55	54	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> y C_ B )
56		hashunlem.disj	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
57	56	ad4antr 485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> ( A i^i B ) = (/) )
58		incom 3268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y i^i A ) = ( A i^i y )
59		incom 3268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A i^i B ) = ( B i^i A )
60	59	eqeq1i 2147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A i^i B ) = (/) <-> ( B i^i A ) = (/) )
61		ssdisj 3419	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y C_ B /\ ( B i^i A ) = (/) ) -> ( y i^i A ) = (/) )
62	60, 61	sylan2b 285	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y C_ B /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( y i^i A ) = (/) )
63	58, 62	syl5eqr 2186	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y C_ B /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A i^i y ) = (/) )
64	55, 57, 63	syl2anc 408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> ( A i^i y ) = (/) )
65		unfidisj 6810	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ y e. Fin /\ ( A i^i y ) = (/) ) -> ( A u. y ) e. Fin )
66	53, 41, 64, 65	syl3anc 1216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> ( A u. y ) e. Fin )
67	45	eldifad 3082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> z e. B )
68		minel 3424	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. B /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> -. z e. A )
69	67, 57, 68	syl2anc 408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> -. z e. A )
70		ioran 741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( z e. A \/ z e. y ) <-> ( -. z e. A /\ -. z e. y ) )
71		elun 3217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( A u. y ) <-> ( z e. A \/ z e. y ) )
72	70, 71	xchnxbir 670	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. z e. ( A u. y ) <-> ( -. z e. A /\ -. z e. y ) )
73	69, 46, 72	sylanbrc 413	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> -. z e. ( A u. y ) )
74	43, 73	eldifd 3081	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> z e. ( _V \ ( A u. y ) ) )
75	29	ad4antr 485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> N e. om )
76		nnacl 6376	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( N +o j ) e. om )
77	75, 48, 76	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> ( N +o j ) e. om )
78		simprr 521	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) )
79		fiunsnnn 6775	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A u. y ) e. Fin /\ z e. ( _V \ ( A u. y ) ) ) /\ ( ( N +o j ) e. om /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> ( ( A u. y ) u. { z } ) ~~ suc ( N +o j ) )
80	66, 74, 77, 78, 79	syl22anc 1217	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> ( ( A u. y ) u. { z } ) ~~ suc ( N +o j ) )
81		unass 3233	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A u. y ) u. { z } ) = ( A u. ( y u. { z } ) )
82	81	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> ( ( A u. y ) u. { z } ) = ( A u. ( y u. { z } ) ) )
83	82	eqcomd 2145	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> ( A u. ( y u. { z } ) ) = ( ( A u. y ) u. { z } ) )
84		nnasuc 6372	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( N +o suc j ) = suc ( N +o j ) )
85	75, 48, 84	syl2anc 408	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> ( N +o suc j ) = suc ( N +o j ) )
86	80, 83, 85	3brtr4d 3960	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o suc j ) )
87		breq2 3933	. . . . . . . . 9 |- ( k = suc j -> ( ( y u. { z } ) ~~ k <-> ( y u. { z } ) ~~ suc j ) )
88		oveq2 5782	. . . . . . . . . 10 |- ( k = suc j -> ( N +o k ) = ( N +o suc j ) )
89	88	breq2d 3941	. . . . . . . . 9 |- ( k = suc j -> ( ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o k ) <-> ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o suc j ) ) )
90	87, 89	anbi12d 464	. . . . . . . 8 |- ( k = suc j -> ( ( ( y u. { z } ) ~~ k /\ ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o k ) ) <-> ( ( y u. { z } ) ~~ suc j /\ ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o suc j ) ) ) )
91	90	rspcev 2789	. . . . . . 7 |- ( ( suc j e. om /\ ( ( y u. { z } ) ~~ suc j /\ ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o suc j ) ) ) -> E. k e. om ( ( y u. { z } ) ~~ k /\ ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o k ) ) )
92	40, 51, 86, 91	syl12anc 1214	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> E. k e. om ( ( y u. { z } ) ~~ k /\ ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o k ) ) )
93	92	ex 114	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) -> ( ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) -> E. k e. om ( ( y u. { z } ) ~~ k /\ ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o k ) ) ) )
94	93	rexlimdva 2549	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) -> ( E. j e. om ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) -> E. k e. om ( ( y u. { z } ) ~~ k /\ ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o k ) ) ) )
95		breq2 3933	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( ( y u. { z } ) ~~ j <-> ( y u. { z } ) ~~ k ) )
96		oveq2 5782	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( N +o j ) = ( N +o k ) )
97	96	breq2d 3941	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o j ) <-> ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o k ) ) )
98	95, 97	anbi12d 464	. . . . 5 |- ( j = k -> ( ( ( y u. { z } ) ~~ j /\ ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o j ) ) <-> ( ( y u. { z } ) ~~ k /\ ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o k ) ) ) )
99	98	cbvrexv 2655	. . . 4 |- ( E. j e. om ( ( y u. { z } ) ~~ j /\ ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o j ) ) <-> E. k e. om ( ( y u. { z } ) ~~ k /\ ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o k ) ) )
100	94, 99	syl6ibr 161	. . 3 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) -> ( E. j e. om ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) -> E. j e. om ( ( y u. { z } ) ~~ j /\ ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o j ) ) ) )
101		hashunlem.b	. . 3 |- ( ph -> B e. Fin )
102	5, 10, 15, 20, 38, 100, 101	findcard2sd 6786	. 2 |- ( ph -> E. j e. om ( B ~~ j /\ ( A u. B ) ~~ ( N +o j ) ) )
103		simprrr 529	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. om /\ ( B ~~ j /\ ( A u. B ) ~~ ( N +o j ) ) ) ) -> ( A u. B ) ~~ ( N +o j ) )
104		hashunlem.bm	. . . . . . 7 |- ( ph -> B ~~ M )
105	104	ensymd 6677	. . . . . 6 |- ( ph -> M ~~ B )
106		simprrl 528	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. om /\ ( B ~~ j /\ ( A u. B ) ~~ ( N +o j ) ) ) ) -> B ~~ j )
107		entr 6678	. . . . . 6 |- ( ( M ~~ B /\ B ~~ j ) -> M ~~ j )
108	105, 106, 107	syl2an2r 584	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. om /\ ( B ~~ j /\ ( A u. B ) ~~ ( N +o j ) ) ) ) -> M ~~ j )
109		hashunlem.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. om )
110		simprl 520	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. om /\ ( B ~~ j /\ ( A u. B ) ~~ ( N +o j ) ) ) ) -> j e. om )
111		nneneq 6751	. . . . . 6 |- ( ( M e. om /\ j e. om ) -> ( M ~~ j <-> M = j ) )
112	109, 110, 111	syl2an2r 584	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. om /\ ( B ~~ j /\ ( A u. B ) ~~ ( N +o j ) ) ) ) -> ( M ~~ j <-> M = j ) )
113	108, 112	mpbid 146	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( j e. om /\ ( B ~~ j /\ ( A u. B ) ~~ ( N +o j ) ) ) ) -> M = j )
114	113	oveq2d 5790	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. om /\ ( B ~~ j /\ ( A u. B ) ~~ ( N +o j ) ) ) ) -> ( N +o M ) = ( N +o j ) )
115	103, 114	breqtrrd 3956	. 2 |- ( ( ph /\ ( j e. om /\ ( B ~~ j /\ ( A u. B ) ~~ ( N +o j ) ) ) ) -> ( A u. B ) ~~ ( N +o M ) )
116	102, 115	rexlimddv 2554	1 |- ( ph -> ( A u. B ) ~~ ( N +o M ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   E.wrex 2417   _Vcvv 2686   \ cdif 3068   u. cun 3069   i^i cin 3070   C_ wss 3071   (/)c0 3363   {csn 3527   class class class wbr 3929   suc csuc 4287   omcom 4504  (class class class)co 5774   +o coa 6310   ~~ cen 6632   Fincfn 6634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637

This theorem is referenced by:  hashun  10551