ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bren GIF version

Theorem bren 6258
Description: Equinumerosity relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
bren (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem bren
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 encv 6257 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
2 f1ofn 5154 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓 Fn 𝐴)
3 fndm 5025 . . . . . 6 (𝑓 Fn 𝐴 → dom 𝑓 = 𝐴)
4 vex 2577 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
54dmex 4625 . . . . . 6 dom 𝑓 ∈ V
63, 5syl6eqelr 2145 . . . . 5 (𝑓 Fn 𝐴𝐴 ∈ V)
72, 6syl 14 . . . 4 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ V)
8 f1ofo 5160 . . . . . 6 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴onto𝐵)
9 forn 5136 . . . . . 6 (𝑓:𝐴onto𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
108, 9syl 14 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
114rnex 4626 . . . . 5 ran 𝑓 ∈ V
1210, 11syl6eqelr 2145 . . . 4 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐵 ∈ V)
137, 12jca 294 . . 3 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
1413exlimiv 1505 . 2 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
15 f1oeq2 5145 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑓:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝐴1-1-onto𝑦))
1615exbidv 1722 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝑦))
17 f1oeq3 5146 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → (𝑓:𝐴1-1-onto𝑦𝑓:𝐴1-1-onto𝐵))
1817exbidv 1722 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵))
19 df-en 6252 . . 3 ≈ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑦}
2016, 18, 19brabg 4033 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵))
211, 14, 20pm5.21nii 630 1 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 101  wb 102   = wceq 1259  wex 1397  wcel 1409  Vcvv 2574   class class class wbr 3791  dom cdm 4372  ran crn 4373   Fn wfn 4924  ontowfo 4927  1-1-ontowf1o 4928  cen 6249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-dm 4382  df-rn 4383  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-en 6252
This theorem is referenced by:  domen  6262  f1oen3g  6264  ener  6289  en0  6305  ensn1  6306  en1  6309  unen  6323  enm  6324  phplem4  6348  phplem4on  6359  fidceq  6360  dif1en  6367  fin0  6372  fin0or  6373
  Copyright terms: Public domain W3C validator