Theorem cos12dec 11474

Description: Cosine is decreasing from one to two. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 6-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cos12dec	⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘𝐵) < (cos‘𝐴))

Proof of Theorem cos12dec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 7765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		2re 8790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		iccssre 9738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (1[,]2) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1[,]2) ⊆ ℝ
5	4	sseli 3093	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (1[,]2) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	3ad2ant2 1003	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	recnd 7794	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
8	4	sseli 3093	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (1[,]2) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	3ad2ant1 1002	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	6, 9	resubcld 8143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
11	10	recnd 7794	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
12	11	halfcld 8964	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℂ)
13	7, 12	subcld 8073	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℂ)
14	13	coscld 11418	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℂ)
15	12	coscld 11418	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℂ)
16	14, 15	mulcld 7786	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℂ)
17	13	sincld 11417	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℂ)
18	12	sincld 11417	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℂ)
19	17, 18	mulcld 7786	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℂ)
20	16, 19	negsubd 8079	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) + -((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))) = (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) − ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
21	10	rehalfcld 8966	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
22	6, 21	resubcld 8143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
23	22	resincld 11430	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℝ)
24	21	resincld 11430	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
25	23, 24	remulcld 7796	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℝ)
26	25	renegcld 8142	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → -((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℝ)
27	22	recoscld 11431	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℝ)
28	21	recoscld 11431	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
29	27, 28	remulcld 7796	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℝ)
30		0red 7767	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 ∈ ℝ)
31	1	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 ∈ ℝ)
32	31	rehalfcld 8966	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 / 2) ∈ ℝ)
33		simp3 983	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
34	9, 6	posdifd 8294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
35	33, 34	mpbid 146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < (𝐵 − 𝐴))
36		halfpos2 8950	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ → (0 < (𝐵 − 𝐴) ↔ 0 < ((𝐵 − 𝐴) / 2)))
37	10, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (0 < (𝐵 − 𝐴) ↔ 0 < ((𝐵 − 𝐴) / 2)))
38	35, 37	mpbid 146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < ((𝐵 − 𝐴) / 2))
39		2rp 9446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ+
40	39	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 2 ∈ ℝ+)
41	2	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 2 ∈ ℝ)
42	1	rexri 7823	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℝ*
43	2	rexri 7823	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ*
44		iccleub 9714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2)) → 𝐵 ≤ 2)
45	42, 43, 44	mp3an12 1305	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ (1[,]2) → 𝐵 ≤ 2)
46	45	3ad2ant2 1003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ 2)
47		iccgelb 9715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (1[,]2)) → 1 ≤ 𝐴)
48	42, 43, 47	mp3an12 1305	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (1[,]2) → 1 ≤ 𝐴)
49	48	3ad2ant1 1002	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 ≤ 𝐴)
50	6, 31, 41, 9, 46, 49	le2subd 8326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ≤ (2 − 1))
51		2m1e1 8838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 − 1) = 1
52	50, 51	breqtrdi 3969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ≤ 1)
53	10, 31, 40, 52	lediv1dd 9542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − 𝐴) / 2) ≤ (1 / 2))
54	30, 21, 32, 38, 53	ltletrd 8185	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < (1 / 2))
55		1mhlfehlf 8938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
56		iccgelb 9715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2)) → 1 ≤ 𝐵)
57	42, 43, 56	mp3an12 1305	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ (1[,]2) → 1 ≤ 𝐵)
58	57	3ad2ant2 1003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 ≤ 𝐵)
59	31, 21, 6, 32, 58, 53	le2subd 8326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 − (1 / 2)) ≤ (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)))
60	55, 59	eqbrtrrid 3964	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 / 2) ≤ (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)))
61	30, 32, 22, 54, 60	ltletrd 8185	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)))
62	30, 21, 38	ltled 7881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 ≤ ((𝐵 − 𝐴) / 2))
63	6, 30, 41, 21, 46, 62	le2subd 8326	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ≤ (2 − 0))
64		2cn 8791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
65	64	subid1i 8034	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 − 0) = 2
66	63, 65	breqtrdi 3969	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ≤ 2)
67		0xr 7812	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
68		elioc2 9719	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ (0(,]2) ↔ ((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∧ (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ≤ 2)))
69	67, 2, 68	mp2an 422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ (0(,]2) ↔ ((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∧ (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ≤ 2))
70	22, 61, 66, 69	syl3anbrc 1165	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ (0(,]2))
71		sin02gt0 11470	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))))
72	70, 71	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < (sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))))
73		halfre 8933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
74		halflt1 8937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) < 1
75		1lt2 8889	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 2
76	73, 1, 2	lttri 7868	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 / 2) < 1 ∧ 1 < 2) → (1 / 2) < 2)
77	74, 75, 76	mp2an 422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 2) < 2
78	73, 2, 77	ltleii 7866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 2) ≤ 2
79	78	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 / 2) ≤ 2)
80	21, 32, 41, 53, 79	letrd 7886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − 𝐴) / 2) ≤ 2)
81		elioc2 9719	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ (0(,]2) ↔ (((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 2) ≤ 2)))
82	67, 2, 81	mp2an 422	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ (0(,]2) ↔ (((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 2) ≤ 2))
83	21, 38, 80, 82	syl3anbrc 1165	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ (0(,]2))
84		sin02gt0 11470	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))
85	83, 84	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))
86	23, 24, 72, 85	mulgt0d 7885	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))))
87	25	lt0neg2d 8278	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (0 < ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) ↔ -((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) < 0))
88	86, 87	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → -((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) < 0)
89	26, 30, 25, 88, 86	lttrd 7888	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → -((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) < ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))))
90	26, 25, 29, 89	ltadd2dd 8184	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) + -((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))) < (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) + ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
91	20, 90	eqbrtrrd 3952	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) − ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))) < (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) + ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
92	7, 12	npcand 8077	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) + ((𝐵 − 𝐴) / 2)) = 𝐵)
93	92	fveq2d 5425	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) + ((𝐵 − 𝐴) / 2))) = (cos‘𝐵))
94		cosadd 11444	. . . 4 ⊢ (((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℂ ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℂ) → (cos‘((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) + ((𝐵 − 𝐴) / 2))) = (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) − ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
95	13, 12, 94	syl2anc 408	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) + ((𝐵 − 𝐴) / 2))) = (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) − ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
96	93, 95	eqtr3d 2174	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘𝐵) = (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) − ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
97	7, 12, 12	subsub4d 8104	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) = (𝐵 − (((𝐵 − 𝐴) / 2) + ((𝐵 − 𝐴) / 2))))
98	11	2halvesd 8965	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐵 − 𝐴) / 2) + ((𝐵 − 𝐴) / 2)) = (𝐵 − 𝐴))
99	98	oveq2d 5790	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − (((𝐵 − 𝐴) / 2) + ((𝐵 − 𝐴) / 2))) = (𝐵 − (𝐵 − 𝐴)))
100	9	recnd 7794	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
101	7, 100	nncand 8078	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − (𝐵 − 𝐴)) = 𝐴)
102	97, 99, 101	3eqtrd 2176	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) = 𝐴)
103	102	fveq2d 5425	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) = (cos‘𝐴))
104		cossub 11448	. . . 4 ⊢ (((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℂ ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℂ) → (cos‘((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) = (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) + ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
105	13, 12, 104	syl2anc 408	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘((𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) = (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) + ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
106	103, 105	eqtr3d 2174	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘𝐴) = (((cos‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (cos‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) + ((sin‘(𝐵 − ((𝐵 − 𝐴) / 2))) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
107	91, 96, 106	3brtr4d 3960	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐵 ∈ (1[,]2) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (cos‘𝐵) < (cos‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ⊆ wss 3071   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  ℝcr 7619  0cc0 7620  1c1 7621   + caddc 7623   · cmul 7625  ℝ^*cxr 7799   < clt 7800   ≤ cle 7801   − cmin 7933  -cneg 7934   / cdiv 8432  2c2 8771  ℝ⁺crp 9441  (,]cioc 9672  [,]cicc 9674  sincsin 11350  cosccos 11351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-5 8782  df-6 8783  df-7 8784  df-8 8785  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-ioc 9676  df-ico 9677  df-icc 9678  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-fac 10472  df-bc 10494  df-ihash 10522  df-shft 10587  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123  df-ef 11354  df-sin 11356  df-cos 11357

This theorem is referenced by:  cosz12  12861