Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltexnqq GIF version

Theorem ltexnqq 6391
 Description: Ordering on positive fractions in terms of existence of sum. Definition in Proposition 9-2.6 of [Gleason] p. 119. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltexnqq ((A Q B Q) → (A <Q Bx Q (A +Q x) = B))
Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem ltexnqq
Dummy variables f g y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6332 . . 3 Q = ((N × N) / ~Q )
2 breq1 3758 . . . 4 ([⟨y, z⟩] ~Q = A → ([⟨y, z⟩] ~Q <Q [⟨w, v⟩] ~QA <Q [⟨w, v⟩] ~Q ))
3 oveq1 5462 . . . . . 6 ([⟨y, z⟩] ~Q = A → ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = (A +Q x))
43eqeq1d 2045 . . . . 5 ([⟨y, z⟩] ~Q = A → (([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ↔ (A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
54rexbidv 2321 . . . 4 ([⟨y, z⟩] ~Q = A → (x Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Qx Q (A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
62, 5imbi12d 223 . . 3 ([⟨y, z⟩] ~Q = A → (([⟨y, z⟩] ~Q <Q [⟨w, v⟩] ~Qx Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ) ↔ (A <Q [⟨w, v⟩] ~Qx Q (A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q )))
7 breq2 3759 . . . 4 ([⟨w, v⟩] ~Q = B → (A <Q [⟨w, v⟩] ~QA <Q B))
8 eqeq2 2046 . . . . 5 ([⟨w, v⟩] ~Q = B → ((A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ↔ (A +Q x) = B))
98rexbidv 2321 . . . 4 ([⟨w, v⟩] ~Q = B → (x Q (A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Qx Q (A +Q x) = B))
107, 9imbi12d 223 . . 3 ([⟨w, v⟩] ~Q = B → ((A <Q [⟨w, v⟩] ~Qx Q (A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ) ↔ (A <Q Bx Q (A +Q x) = B)))
11 ordpipqqs 6358 . . . 4 (((y N z N) (w N v N)) → ([⟨y, z⟩] ~Q <Q [⟨w, v⟩] ~Q ↔ (y ·N v) <N (z ·N w)))
12 mulclpi 6312 . . . . . . . . 9 ((y N v N) → (y ·N v) N)
13 mulclpi 6312 . . . . . . . . 9 ((z N w N) → (z ·N w) N)
1412, 13anim12i 321 . . . . . . . 8 (((y N v N) (z N w N)) → ((y ·N v) N (z ·N w) N))
1514an42s 523 . . . . . . 7 (((y N z N) (w N v N)) → ((y ·N v) N (z ·N w) N))
16 ltexpi 6321 . . . . . . 7 (((y ·N v) N (z ·N w) N) → ((y ·N v) <N (z ·N w) ↔ u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)))
1715, 16syl 14 . . . . . 6 (((y N z N) (w N v N)) → ((y ·N v) <N (z ·N w) ↔ u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)))
18 df-rex 2306 . . . . . 6 (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w) ↔ u(u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)))
1917, 18syl6bb 185 . . . . 5 (((y N z N) (w N v N)) → ((y ·N v) <N (z ·N w) ↔ u(u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))))
20 simpll 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((y N z N) (w N v N)) u N) → (y N z N))
21 simpr 103 . . . . . . . . . . . 12 ((((y N z N) (w N v N)) u N) → u N)
22 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((y N z N) → z N)
23 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((w N v N) → v N)
2422, 23anim12i 321 . . . . . . . . . . . . . 14 (((y N z N) (w N v N)) → (z N v N))
2524adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13 ((((y N z N) (w N v N)) u N) → (z N v N))
26 mulclpi 6312 . . . . . . . . . . . . 13 ((z N v N) → (z ·N v) N)
2725, 26syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((((y N z N) (w N v N)) u N) → (z ·N v) N)
2820, 21, 27jca32 293 . . . . . . . . . . 11 ((((y N z N) (w N v N)) u N) → ((y N z N) (u N (z ·N v) N)))
2928adantrr 448 . . . . . . . . . 10 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ((y N z N) (u N (z ·N v) N)))
30 addpipqqs 6354 . . . . . . . . . 10 (((y N z N) (u N (z ·N v) N)) → ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q )
3129, 30syl 14 . . . . . . . . 9 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q )
32 simplll 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → y N)
33 simpllr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → z N)
34 simplrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → v N)
35 mulcompig 6315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((f N g N) → (f ·N g) = (g ·N f))
3635adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) (f N g N)) → (f ·N g) = (g ·N f))
37 mulasspig 6316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((f N g N N) → ((f ·N g) ·N ) = (f ·N (g ·N )))
3837adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) (f N g N N)) → ((f ·N g) ·N ) = (f ·N (g ·N )))
3932, 33, 34, 36, 38caov12d 5624 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → (y ·N (z ·N v)) = (z ·N (y ·N v)))
4039oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . . 13 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)) = ((z ·N (y ·N v)) +N (z ·N u)))
4132, 34, 12syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → (y ·N v) N)
42 simprl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → u N)
43 distrpig 6317 . . . . . . . . . . . . . 14 ((z N (y ·N v) N u N) → (z ·N ((y ·N v) +N u)) = ((z ·N (y ·N v)) +N (z ·N u)))
4433, 41, 42, 43syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → (z ·N ((y ·N v) +N u)) = ((z ·N (y ·N v)) +N (z ·N u)))
4540, 44eqtr4d 2072 . . . . . . . . . . . 12 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)) = (z ·N ((y ·N v) +N u)))
4645opeq1d 3546 . . . . . . . . . . 11 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ⟨((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)), (z ·N (z ·N v))⟩ = ⟨(z ·N ((y ·N v) +N u)), (z ·N (z ·N v))⟩)
4746eceq1d 6078 . . . . . . . . . 10 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → [⟨((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q = [⟨(z ·N ((y ·N v) +N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q )
48 simpllr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((((y N z N) (w N v N)) u N) → z N)
4912ad2ant2rl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((y N z N) (w N v N)) → (y ·N v) N)
50 addclpi 6311 . . . . . . . . . . . . . 14 (((y ·N v) N u N) → ((y ·N v) +N u) N)
5149, 50sylan 267 . . . . . . . . . . . . 13 ((((y N z N) (w N v N)) u N) → ((y ·N v) +N u) N)
5248, 51, 273jca 1083 . . . . . . . . . . . 12 ((((y N z N) (w N v N)) u N) → (z N ((y ·N v) +N u) N (z ·N v) N))
5352adantrr 448 . . . . . . . . . . 11 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → (z N ((y ·N v) +N u) N (z ·N v) N))
54 mulcanenqec 6370 . . . . . . . . . . 11 ((z N ((y ·N v) +N u) N (z ·N v) N) → [⟨(z ·N ((y ·N v) +N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q = [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q )
5553, 54syl 14 . . . . . . . . . 10 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → [⟨(z ·N ((y ·N v) +N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q = [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q )
5647, 55eqtrd 2069 . . . . . . . . 9 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → [⟨((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q = [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q )
57 3anass 888 . . . . . . . . . . . . . 14 ((z N w N v N) ↔ (z N (w N v N)))
5857biimpri 124 . . . . . . . . . . . . 13 ((z N (w N v N)) → (z N w N v N))
5958adantll 445 . . . . . . . . . . . 12 (((y N z N) (w N v N)) → (z N w N v N))
6059anim1i 323 . . . . . . . . . . 11 ((((y N z N) (w N v N)) ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)) → ((z N w N v N) ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)))
6160adantrl 447 . . . . . . . . . 10 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ((z N w N v N) ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)))
62 opeq1 3540 . . . . . . . . . . . 12 (((y ·N v) +N u) = (z ·N w) → ⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩ = ⟨(z ·N w), (z ·N v)⟩)
6362eceq1d 6078 . . . . . . . . . . 11 (((y ·N v) +N u) = (z ·N w) → [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q = [⟨(z ·N w), (z ·N v)⟩] ~Q )
64 mulcanenqec 6370 . . . . . . . . . . 11 ((z N w N v N) → [⟨(z ·N w), (z ·N v)⟩] ~Q = [⟨w, v⟩] ~Q )
6563, 64sylan9eqr 2091 . . . . . . . . . 10 (((z N w N v N) ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)) → [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q = [⟨w, v⟩] ~Q )
6661, 65syl 14 . . . . . . . . 9 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q = [⟨w, v⟩] ~Q )
6731, 56, 663eqtrd 2073 . . . . . . . 8 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨w, v⟩] ~Q )
6833, 34, 26syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → (z ·N v) N)
69 opelxpi 4319 . . . . . . . . . . . 12 ((u N (z ·N v) N) → ⟨u, (z ·N v)⟩ (N × N))
70 enqex 6344 . . . . . . . . . . . . 13 ~Q V
7170ecelqsi 6096 . . . . . . . . . . . 12 (⟨u, (z ·N v)⟩ (N × N) → [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ((N × N) / ~Q ))
7269, 71syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((u N (z ·N v) N) → [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ((N × N) / ~Q ))
7342, 68, 72syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ((N × N) / ~Q ))
7473, 1syl6eleqr 2128 . . . . . . . . 9 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q Q)
75 oveq2 5463 . . . . . . . . . . 11 (x = [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q → ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ))
7675eqeq1d 2045 . . . . . . . . . 10 (x = [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q → (([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ↔ ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
7776adantl 262 . . . . . . . . 9 (((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) x = [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) → (([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ↔ ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
7874, 77rspcedv 2654 . . . . . . . 8 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → (([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨w, v⟩] ~Qx Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
7967, 78mpd 13 . . . . . . 7 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → x Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q )
8079ex 108 . . . . . 6 (((y N z N) (w N v N)) → ((u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)) → x Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
8180exlimdv 1697 . . . . 5 (((y N z N) (w N v N)) → (u(u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)) → x Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
8219, 81sylbid 139 . . . 4 (((y N z N) (w N v N)) → ((y ·N v) <N (z ·N w) → x Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
8311, 82sylbid 139 . . 3 (((y N z N) (w N v N)) → ([⟨y, z⟩] ~Q <Q [⟨w, v⟩] ~Qx Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
841, 6, 10, 832ecoptocl 6130 . 2 ((A Q B Q) → (A <Q Bx Q (A +Q x) = B))
85 ltaddnq 6390 . . . . 5 ((A Q x Q) → A <Q (A +Q x))
86 breq2 3759 . . . . 5 ((A +Q x) = B → (A <Q (A +Q x) ↔ A <Q B))
8785, 86syl5ibcom 144 . . . 4 ((A Q x Q) → ((A +Q x) = BA <Q B))
8887rexlimdva 2427 . . 3 (A Q → (x Q (A +Q x) = BA <Q B))
8988adantr 261 . 2 ((A Q B Q) → (x Q (A +Q x) = BA <Q B))
9084, 89impbid 120 1 ((A Q B Q) → (A <Q Bx Q (A +Q x) = B))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   = wceq 1242  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  ∃wrex 2301  ⟨cop 3370   class class class wbr 3755   × cxp 4286  (class class class)co 5455  [cec 6040   / cqs 6041  Ncnpi 6256   +N cpli 6257   ·N cmi 6258
 Copyright terms: Public domain W3C validator