ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addassnqg GIF version

Theorem addassnqg 6537
Description: Addition of positive fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
addassnqg ((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) → ((𝐴 +Q 𝐵) +Q 𝐶) = (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐶)))

Proof of Theorem addassnqg
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6503 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
2 addpipqqs 6525 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
3 addpipqqs 6525 . 2 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q +Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q )
4 addpipqqs 6525 . 2 (((((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ([⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q +Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨((((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ·N 𝑢) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣)), ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢)⟩] ~Q )
5 addpipqqs 6525 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q ) = [⟨((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))), (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
6 mulclpi 6483 . . . . 5 ((𝑥N𝑤N) → (𝑥 ·N 𝑤) ∈ N)
76ad2ant2rl 488 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (𝑥 ·N 𝑤) ∈ N)
8 mulclpi 6483 . . . . 5 ((𝑦N𝑧N) → (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N)
98ad2ant2lr 487 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N)
10 addclpi 6482 . . . 4 (((𝑥 ·N 𝑤) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N)
117, 9, 10syl2anc 397 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N)
12 mulclpi 6483 . . . 4 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
1312ad2ant2l 485 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
1411, 13jca 294 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
15 mulclpi 6483 . . . . 5 ((𝑧N𝑢N) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
1615ad2ant2rl 488 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
17 mulclpi 6483 . . . . 5 ((𝑤N𝑣N) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
1817ad2ant2lr 487 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
19 addclpi 6482 . . . 4 (((𝑧 ·N 𝑢) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
2016, 18, 19syl2anc 397 . . 3 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
21 mulclpi 6483 . . . 4 ((𝑤N𝑢N) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
2221ad2ant2l 485 . . 3 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
2320, 22jca 294 . 2 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N))
24 simp1l 939 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑥N)
25 simp2r 942 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑤N)
26 simp3r 944 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑢N)
2725, 26, 21syl2anc 397 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
28 mulclpi 6483 . . . . 5 ((𝑥N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → (𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)
2924, 27, 28syl2anc 397 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)
30 simp1r 940 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑦N)
31 simp2l 941 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑧N)
3231, 26, 15syl2anc 397 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
33 mulclpi 6483 . . . . 5 ((𝑦N ∧ (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N) → (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) ∈ N)
3430, 32, 33syl2anc 397 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) ∈ N)
35 simp3l 943 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑣N)
3625, 35, 17syl2anc 397 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
37 mulclpi 6483 . . . . 5 ((𝑦N ∧ (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N) → (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
3830, 36, 37syl2anc 397 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
39 addasspig 6485 . . . 4 (((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N) → (((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢))) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣))) = ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))))
4029, 34, 38, 39syl3anc 1146 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢))) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣))) = ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))))
41 mulcompig 6486 . . . . . 6 ((𝑓N𝑔N) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
4241adantl 266 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
43 distrpig 6488 . . . . . . . 8 ((N𝑓N𝑔N) → ( ·N (𝑓 +N 𝑔)) = (( ·N 𝑓) +N ( ·N 𝑔)))
44433coml 1122 . . . . . . 7 ((𝑓N𝑔NN) → ( ·N (𝑓 +N 𝑔)) = (( ·N 𝑓) +N ( ·N 𝑔)))
45 addclpi 6482 . . . . . . . . . 10 ((𝑓N𝑔N) → (𝑓 +N 𝑔) ∈ N)
46 mulcompig 6486 . . . . . . . . . 10 ((N ∧ (𝑓 +N 𝑔) ∈ N) → ( ·N (𝑓 +N 𝑔)) = ((𝑓 +N 𝑔) ·N ))
4745, 46sylan2 274 . . . . . . . . 9 ((N ∧ (𝑓N𝑔N)) → ( ·N (𝑓 +N 𝑔)) = ((𝑓 +N 𝑔) ·N ))
4847ancoms 259 . . . . . . . 8 (((𝑓N𝑔N) ∧ N) → ( ·N (𝑓 +N 𝑔)) = ((𝑓 +N 𝑔) ·N ))
49483impa 1110 . . . . . . 7 ((𝑓N𝑔NN) → ( ·N (𝑓 +N 𝑔)) = ((𝑓 +N 𝑔) ·N ))
50 mulcompig 6486 . . . . . . . . . 10 ((N𝑓N) → ( ·N 𝑓) = (𝑓 ·N ))
5150ancoms 259 . . . . . . . . 9 ((𝑓NN) → ( ·N 𝑓) = (𝑓 ·N ))
52513adant2 934 . . . . . . . 8 ((𝑓N𝑔NN) → ( ·N 𝑓) = (𝑓 ·N ))
53 mulcompig 6486 . . . . . . . . . 10 ((N𝑔N) → ( ·N 𝑔) = (𝑔 ·N ))
5453ancoms 259 . . . . . . . . 9 ((𝑔NN) → ( ·N 𝑔) = (𝑔 ·N ))
55543adant1 933 . . . . . . . 8 ((𝑓N𝑔NN) → ( ·N 𝑔) = (𝑔 ·N ))
5652, 55oveq12d 5557 . . . . . . 7 ((𝑓N𝑔NN) → (( ·N 𝑓) +N ( ·N 𝑔)) = ((𝑓 ·N ) +N (𝑔 ·N )))
5744, 49, 563eqtr3d 2096 . . . . . 6 ((𝑓N𝑔NN) → ((𝑓 +N 𝑔) ·N ) = ((𝑓 ·N ) +N (𝑔 ·N )))
5857adantl 266 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔NN)) → ((𝑓 +N 𝑔) ·N ) = ((𝑓 ·N ) +N (𝑔 ·N )))
59 mulasspig 6487 . . . . . 6 ((𝑓N𝑔NN) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N )))
6059adantl 266 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔NN)) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N )))
61 mulclpi 6483 . . . . . 6 ((𝑓N𝑔N) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
6261adantl 266 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
6342, 58, 60, 62, 24, 30, 25, 31, 26caovdilemd 5719 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ·N 𝑢) = ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢))))
64 mulasspig 6487 . . . . . . 7 ((𝑦N𝑤N𝑣N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))
65643adant1l 1138 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ 𝑤N𝑣N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))
66653adant2l 1140 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ 𝑣N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))
67663adant3r 1143 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))
6863, 67oveq12d 5557 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ·N 𝑢) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣)) = (((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢))) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣))))
69 distrpig 6488 . . . . 5 ((𝑦N ∧ (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N) → (𝑦 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = ((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣))))
7030, 32, 36, 69syl3anc 1146 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑦 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = ((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣))))
7170oveq2d 5555 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))) = ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))))
7240, 68, 713eqtr4d 2098 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ·N 𝑢) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣)) = ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))))
73 mulasspig 6487 . . . . 5 ((𝑦N𝑤N𝑢N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
74733adant1l 1138 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ 𝑤N𝑢N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
75743adant2l 1140 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ 𝑢N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
76753adant3l 1142 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
771, 2, 3, 4, 5, 14, 23, 72, 76ecoviass 6246 1 ((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) → ((𝐴 +Q 𝐵) +Q 𝐶) = (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409  (class class class)co 5539  Ncnpi 6427   +N cpli 6428   ·N cmi 6429   ~Q ceq 6434  Qcnq 6435   +Q cplq 6437
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-id 4057  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-plpq 6499  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504
This theorem is referenced by:  ltaddnq  6562  addlocprlemeqgt  6687  addassprg  6734  ltexprlemloc  6762  ltexprlemrl  6765  ltexprlemru  6767  addcanprleml  6769  addcanprlemu  6770  cauappcvgprlemdisj  6806  cauappcvgprlemloc  6807  cauappcvgprlemladdfl  6810  cauappcvgprlemladdru  6811  cauappcvgprlemladdrl  6812  cauappcvgprlem1  6814  caucvgprlemloc  6830  caucvgprlemladdrl  6833  caucvgprprlemloccalc  6839
  Copyright terms: Public domain W3C validator