Theorem mulasspig 6488

Description: Multiplication of positive integers is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulasspig	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = (𝐴 ·N (𝐵 ·N 𝐶)))

Proof of Theorem mulasspig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 6465	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		pinn 6465	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
3		pinn 6465	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ N → 𝐶 ∈ ω)
4		nnmass 6097	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ·𝑜 𝐶) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 ·𝑜 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1188	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ·𝑜 𝐶) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 ·𝑜 𝐶)))
6		mulclpi 6484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)
7		mulpiord 6473	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·N 𝐵) ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = ((𝐴 ·N 𝐵) ·𝑜 𝐶))
8	6, 7	sylan 271	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = ((𝐴 ·N 𝐵) ·𝑜 𝐶))
9		mulpiord 6473	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐵))
10	9	oveq1d 5555	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·𝑜 𝐶) = ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ·𝑜 𝐶))
11	10	adantr 265	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·𝑜 𝐶) = ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ·𝑜 𝐶))
12	8, 11	eqtrd 2088	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ·𝑜 𝐶))
13	12	3impa 1110	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ·𝑜 𝐶))
14		mulclpi 6484	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐶) ∈ N)
15		mulpiord 6473	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐶) ∈ N) → (𝐴 ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 ·N 𝐶)))
16	14, 15	sylan2 274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (𝐴 ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 ·N 𝐶)))
17		mulpiord 6473	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐶) = (𝐵 ·𝑜 𝐶))
18	17	oveq2d 5556	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·𝑜 (𝐵 ·N 𝐶)) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 ·𝑜 𝐶)))
19	18	adantl 266	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (𝐴 ·𝑜 (𝐵 ·N 𝐶)) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 ·𝑜 𝐶)))
20	16, 19	eqtrd 2088	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (𝐴 ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 ·𝑜 𝐶)))
21	20	3impb 1111	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 ·𝑜 𝐶)))
22	5, 13, 21	3eqtr4d 2098	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = (𝐴 ·N (𝐵 ·N 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 101   ∧ w3a 896   = wceq 1259   ∈ wcel 1409  ωcom 4341  (class class class)co 5540   ·_𝑜 comu 6030  Ncnpi 6428   ·_N cmi 6430

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339

This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-ni 6460  df-mi 6462

This theorem is referenced by:  enqer  6514  addcmpblnq  6523  mulcmpblnq  6524  ordpipqqs  6530  addassnqg  6538  mulassnqg  6540  mulcanenq  6541  distrnqg  6543  ltsonq  6554  ltanqg  6556  ltmnqg  6557  ltexnqq  6564