Theorem mulasspig 6316

Description: Multiplication of positive integers is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulasspig	⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((A ·N B) ·N 𝐶) = (A ·N (B ·N 𝐶)))

Proof of Theorem mulasspig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 6293	. . 3 ⊢ (A ∈ N → A ∈ 𝜔)
2		pinn 6293	. . 3 ⊢ (B ∈ N → B ∈ 𝜔)
3		pinn 6293	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ N → 𝐶 ∈ 𝜔)
4		nnmass 6005	. . 3 ⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔 ∧ 𝐶 ∈ 𝜔) → ((A ·𝑜 B) ·𝑜 𝐶) = (A ·𝑜 (B ·𝑜 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1176	. 2 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((A ·𝑜 B) ·𝑜 𝐶) = (A ·𝑜 (B ·𝑜 𝐶)))
6		mulclpi 6312	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) → (A ·N B) ∈ N)
7		mulpiord 6301	. . . . 5 ⊢ (((A ·N B) ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((A ·N B) ·N 𝐶) = ((A ·N B) ·𝑜 𝐶))
8	6, 7	sylan 267	. . . 4 ⊢ (((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((A ·N B) ·N 𝐶) = ((A ·N B) ·𝑜 𝐶))
9		mulpiord 6301	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) → (A ·N B) = (A ·𝑜 B))
10	9	oveq1d 5470	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) → ((A ·N B) ·𝑜 𝐶) = ((A ·𝑜 B) ·𝑜 𝐶))
11	10	adantr 261	. . . 4 ⊢ (((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((A ·N B) ·𝑜 𝐶) = ((A ·𝑜 B) ·𝑜 𝐶))
12	8, 11	eqtrd 2069	. . 3 ⊢ (((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((A ·N B) ·N 𝐶) = ((A ·𝑜 B) ·𝑜 𝐶))
13	12	3impa 1098	. 2 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((A ·N B) ·N 𝐶) = ((A ·𝑜 B) ·𝑜 𝐶))
14		mulclpi 6312	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (B ·N 𝐶) ∈ N)
15		mulpiord 6301	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ N ∧ (B ·N 𝐶) ∈ N) → (A ·N (B ·N 𝐶)) = (A ·𝑜 (B ·N 𝐶)))
16	14, 15	sylan2 270	. . . 4 ⊢ ((A ∈ N ∧ (B ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (A ·N (B ·N 𝐶)) = (A ·𝑜 (B ·N 𝐶)))
17		mulpiord 6301	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (B ·N 𝐶) = (B ·𝑜 𝐶))
18	17	oveq2d 5471	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (A ·𝑜 (B ·N 𝐶)) = (A ·𝑜 (B ·𝑜 𝐶)))
19	18	adantl 262	. . . 4 ⊢ ((A ∈ N ∧ (B ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (A ·𝑜 (B ·N 𝐶)) = (A ·𝑜 (B ·𝑜 𝐶)))
20	16, 19	eqtrd 2069	. . 3 ⊢ ((A ∈ N ∧ (B ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (A ·N (B ·N 𝐶)) = (A ·𝑜 (B ·𝑜 𝐶)))
21	20	3impb 1099	. 2 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (A ·N (B ·N 𝐶)) = (A ·𝑜 (B ·𝑜 𝐶)))
22	5, 13, 21	3eqtr4d 2079	1 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((A ·N B) ·N 𝐶) = (A ·N (B ·N 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  𝜔com 4256  (class class class)co 5455   ·_𝑜 comu 5938  Ncnpi 6256   ·_N cmi 6258

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-ni 6288  df-mi 6290

This theorem is referenced by:  enqer  6342  addcmpblnq  6351  mulcmpblnq  6352  ordpipqqs  6358  addassnqg  6366  mulassnqg  6368  mulcanenq  6369  distrnqg  6371  ltsonq  6382  ltanqg  6384  ltmnqg  6385  ltexnqq  6391