ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemoverl GIF version

Theorem resqrexlemoverl 9847
Description: Lemma for resqrex 9852. Every term in the sequence is an overestimate compared with the limit 𝐿. Although this theorem is stated in terms of a particular sequence the proof could be adapted for any decreasing convergent sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
resqrexlemoverl.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemoverl (𝜑𝐿 ≤ (𝐹𝐾))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑒,𝐹,𝑖,𝑗   𝑦,𝐹,𝑧,𝑖,𝑗   𝑒,𝐾,𝑖,𝑗   𝑦,𝐾,𝑧   𝑒,𝐿,𝑖,𝑗   𝑦,𝐿,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑖,𝑗)   𝐴(𝑒,𝑖,𝑗)

Proof of Theorem resqrexlemoverl
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . . 11 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
2 resqrexlemex.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
41, 2, 3resqrexlemf 9833 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
5 resqrexlemoverl.k . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
64, 5ffvelrnd 5330 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝐾) ∈ ℝ+)
76rpred 8719 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐾) ∈ ℝ)
8 resqrexlemgt0.rr . . . . . . . 8 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
9 difrp 8716 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝐹𝐾) < 𝐿 ↔ (𝐿 − (𝐹𝐾)) ∈ ℝ+))
107, 8, 9syl2anc 397 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐾) < 𝐿 ↔ (𝐿 − (𝐹𝐾)) ∈ ℝ+))
1110biimpa 284 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) → (𝐿 − (𝐹𝐾)) ∈ ℝ+)
12 resqrexlemgt0.lim . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
1312adantr 265 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
14 oveq2 5547 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (𝐿 − (𝐹𝐾)) → (𝐿 + 𝑒) = (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))))
1514breq2d 3803 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝐿 − (𝐹𝐾)) → ((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
16 oveq2 5547 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (𝐿 − (𝐹𝐾)) → ((𝐹𝑖) + 𝑒) = ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))
1716breq2d 3803 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝐿 − (𝐹𝐾)) → (𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
1815, 17anbi12d 450 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝐿 − (𝐹𝐾)) → (((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))))
1918rexralbidv 2367 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝐿 − (𝐹𝐾)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))))
2019rspcv 2669 . . . . . 6 ((𝐿 − (𝐹𝐾)) ∈ ℝ+ → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))))
2111, 13, 20sylc 60 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
22 fveq2 5205 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑏 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑏))
2322raleqdv 2528 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑏 → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))))
2423cbvrexv 2551 . . . . 5 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
2521, 24sylib 131 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) → ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
26 simprl 491 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝑏 ∈ ℕ)
2726nnzd 8417 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝑏 ∈ ℤ)
2827adantr 265 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → 𝑏 ∈ ℤ)
295ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝐾 ∈ ℕ)
3029nnzd 8417 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝐾 ∈ ℤ)
3130adantr 265 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
32 simpr 107 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → 𝑏𝐾)
33 eluz2 8574 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (ℤ𝑏) ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑏𝐾))
3428, 31, 32, 33syl3anbrc 1099 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑏))
35 simprr 492 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
3635adantr 265 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
37 fveq2 5205 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐾 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝐾))
3837breq1d 3801 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐾 → ((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ↔ (𝐹𝐾) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
3937oveq1d 5554 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐾 → ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾))) = ((𝐹𝐾) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))
4039breq2d 3803 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐾 → (𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ↔ 𝐿 < ((𝐹𝐾) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
4138, 40anbi12d 450 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐾 → (((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))) ↔ ((𝐹𝐾) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝐾) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))))
4241rspcv 2669 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (ℤ𝑏) → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))) → ((𝐹𝐾) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝐾) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))))
4334, 36, 42sylc 60 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → ((𝐹𝐾) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝐾) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
4443simprd 111 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → 𝐿 < ((𝐹𝐾) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))
456ad2antrr 465 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (𝐹𝐾) ∈ ℝ+)
4645rpcnd 8721 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (𝐹𝐾) ∈ ℂ)
4746adantr 265 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → (𝐹𝐾) ∈ ℂ)
488ad2antrr 465 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝐿 ∈ ℝ)
4948recnd 7112 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝐿 ∈ ℂ)
5049adantr 265 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → 𝐿 ∈ ℂ)
5147, 50pncan3d 7387 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → ((𝐹𝐾) + (𝐿 − (𝐹𝐾))) = 𝐿)
5244, 51breqtrd 3815 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → 𝐿 < 𝐿)
538ad3antrrr 469 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → 𝐿 ∈ ℝ)
5453ltnrd 7187 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → ¬ 𝐿 < 𝐿)
5552, 54pm2.21fal 1280 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝑏𝐾) → ⊥)
562ad3antrrr 469 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 𝐴 ∈ ℝ)
573ad3antrrr 469 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 0 ≤ 𝐴)
585ad3antrrr 469 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 𝐾 ∈ ℕ)
5926adantr 265 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℕ)
60 simpr 107 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → 𝐾 < 𝑏)
611, 56, 57, 58, 59, 60resqrexlemdecn 9838 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → (𝐹𝑏) < (𝐹𝐾))
627ad3antrrr 469 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → (𝐹𝐾) ∈ ℝ)
634ad2antrr 465 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
6463, 26ffvelrnd 5330 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ+)
6564rpred 8719 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
6665adantr 265 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
67 uzid 8582 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ (ℤ𝑏))
6827, 67syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝑏 ∈ (ℤ𝑏))
69 fveq2 5205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑏 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑏))
7069breq1d 3801 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑏 → ((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ↔ (𝐹𝑏) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
7169oveq1d 5554 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑏 → ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾))) = ((𝐹𝑏) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))
7271breq2d 3803 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑏 → (𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ↔ 𝐿 < ((𝐹𝑏) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
7370, 72anbi12d 450 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑏 → (((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))) ↔ ((𝐹𝑏) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑏) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))))
7473rspcv 2669 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ (ℤ𝑏) → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))) → ((𝐹𝑏) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑏) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))))
7568, 35, 74sylc 60 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → ((𝐹𝑏) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑏) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))
7675simprd 111 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝐿 < ((𝐹𝑏) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))
7764rpcnd 8721 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
7877, 49, 46addsubassd 7404 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (((𝐹𝑏) + 𝐿) − (𝐹𝐾)) = ((𝐹𝑏) + (𝐿 − (𝐹𝐾))))
7976, 78breqtrrd 3817 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → 𝐿 < (((𝐹𝑏) + 𝐿) − (𝐹𝐾)))
807ad2antrr 465 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (𝐹𝐾) ∈ ℝ)
8165, 48readdcld 7113 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → ((𝐹𝑏) + 𝐿) ∈ ℝ)
8280, 48, 81ltaddsub2d 7610 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (((𝐹𝐾) + 𝐿) < ((𝐹𝑏) + 𝐿) ↔ 𝐿 < (((𝐹𝑏) + 𝐿) − (𝐹𝐾))))
8379, 82mpbird 160 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → ((𝐹𝐾) + 𝐿) < ((𝐹𝑏) + 𝐿))
8480, 65, 48ltadd1d 7602 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → ((𝐹𝐾) < (𝐹𝑏) ↔ ((𝐹𝐾) + 𝐿) < ((𝐹𝑏) + 𝐿)))
8583, 84mpbird 160 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (𝐹𝐾) < (𝐹𝑏))
8685adantr 265 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → (𝐹𝐾) < (𝐹𝑏))
8762, 66, 86ltnsymd 7194 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → ¬ (𝐹𝑏) < (𝐹𝐾))
8861, 87pm2.21fal 1280 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) ∧ 𝐾 < 𝑏) → ⊥)
89 zlelttric 8346 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑏𝐾𝐾 < 𝑏))
9027, 30, 89syl2anc 397 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → (𝑏𝐾𝐾 < 𝑏))
9155, 88, 90mpjaodan 722 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑖) < (𝐿 + (𝐿 − (𝐹𝐾))) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + (𝐿 − (𝐹𝐾)))))) → ⊥)
9225, 91rexlimddv 2454 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐾) < 𝐿) → ⊥)
9392inegd 1279 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐹𝐾) < 𝐿)
948, 7lenltd 7192 . 2 (𝜑 → (𝐿 ≤ (𝐹𝐾) ↔ ¬ (𝐹𝐾) < 𝐿))
9593, 94mpbird 160 1 (𝜑𝐿 ≤ (𝐹𝐾))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 101  wb 102  wo 639   = wceq 1259  wfal 1264  wcel 1409  wral 2323  wrex 2324  {csn 3402   class class class wbr 3791   × cxp 4370  wf 4925  cfv 4929  (class class class)co 5539  cmpt2 5541  cc 6944  cr 6945  0cc0 6946  1c1 6947   + caddc 6949   < clt 7118  cle 7119  cmin 7244   / cdiv 7724  cn 7989  2c2 8039  cz 8301  cuz 8568  +crp 8680  seqcseq 9374
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-mulrcl 7040  ax-addcom 7041  ax-mulcom 7042  ax-addass 7043  ax-mulass 7044  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-1rid 7048  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-precex 7051  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-apti 7056  ax-pre-ltadd 7057  ax-pre-mulgt0 7058  ax-pre-mulext 7059
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-if 3359  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-frec 6008  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-reap 7639  df-ap 7646  df-div 7725  df-inn 7990  df-2 8048  df-3 8049  df-4 8050  df-n0 8239  df-z 8302  df-uz 8569  df-rp 8681  df-iseq 9375  df-iexp 9419
This theorem is referenced by:  resqrexlemglsq  9848
  Copyright terms: Public domain W3C validator