Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1ewlk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1ewlk 27093
 Description: A sequence of 1 edge is an s-walk of edges for all s. (Contributed by AV, 5-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
1ewlk ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*𝐼 ∈ dom (iEdg‘𝐺)) → ⟨“𝐼”⟩ ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆))

Proof of Theorem 1ewlk
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 s1cl 13418 . . . 4 (𝐼 ∈ dom (iEdg‘𝐺) → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
213ad2ant3 1104 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*𝐼 ∈ dom (iEdg‘𝐺)) → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
3 ral0 4109 . . . . . 6 𝑘 ∈ ∅ 𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(⟨“𝐼”⟩‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(⟨“𝐼”⟩‘𝑘))))
43a1i 11 . . . . 5 (𝐼 ∈ dom (iEdg‘𝐺) → ∀𝑘 ∈ ∅ 𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(⟨“𝐼”⟩‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(⟨“𝐼”⟩‘𝑘)))))
5 s1len 13422 . . . . . . . . 9 (#‘⟨“𝐼”⟩) = 1
65oveq2i 6701 . . . . . . . 8 (1..^(#‘⟨“𝐼”⟩)) = (1..^1)
7 fzo0 12531 . . . . . . . 8 (1..^1) = ∅
86, 7eqtri 2673 . . . . . . 7 (1..^(#‘⟨“𝐼”⟩)) = ∅
98a1i 11 . . . . . 6 (𝐼 ∈ dom (iEdg‘𝐺) → (1..^(#‘⟨“𝐼”⟩)) = ∅)
109raleqdv 3174 . . . . 5 (𝐼 ∈ dom (iEdg‘𝐺) → (∀𝑘 ∈ (1..^(#‘⟨“𝐼”⟩))𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(⟨“𝐼”⟩‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(⟨“𝐼”⟩‘𝑘)))) ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(⟨“𝐼”⟩‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(⟨“𝐼”⟩‘𝑘))))))
114, 10mpbird 247 . . . 4 (𝐼 ∈ dom (iEdg‘𝐺) → ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘⟨“𝐼”⟩))𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(⟨“𝐼”⟩‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(⟨“𝐼”⟩‘𝑘)))))
12113ad2ant3 1104 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*𝐼 ∈ dom (iEdg‘𝐺)) → ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘⟨“𝐼”⟩))𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(⟨“𝐼”⟩‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(⟨“𝐼”⟩‘𝑘)))))
132, 12jca 553 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*𝐼 ∈ dom (iEdg‘𝐺)) → (⟨“𝐼”⟩ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘⟨“𝐼”⟩))𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(⟨“𝐼”⟩‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(⟨“𝐼”⟩‘𝑘))))))
1413anim3i 1269 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*𝐼 ∈ dom (iEdg‘𝐺)) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0* ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)))
15 eqid 2651 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
1615isewlk 26554 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0* ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) → (⟨“𝐼”⟩ ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ↔ (⟨“𝐼”⟩ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘⟨“𝐼”⟩))𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(⟨“𝐼”⟩‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(⟨“𝐼”⟩‘𝑘)))))))
1714, 16syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*𝐼 ∈ dom (iEdg‘𝐺)) → (⟨“𝐼”⟩ ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ↔ (⟨“𝐼”⟩ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘⟨“𝐼”⟩))𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(⟨“𝐼”⟩‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(⟨“𝐼”⟩‘𝑘)))))))
1813, 17mpbird 247 1 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*𝐼 ∈ dom (iEdg‘𝐺)) → ⟨“𝐼”⟩ ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  Vcvv 3231   ∩ cin 3606  ∅c0 3948   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  1c1 9975   ≤ cle 10113   − cmin 10304  ℕ0*cxnn0 11401  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323  ⟨“cs1 13326  iEdgciedg 25920   EdgWalks cewlks 26547 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-s1 13334  df-ewlks 26550 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator