Theorem s1len 13960

Description: Length of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1len	⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Proof of Theorem s1len

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s1 13950	. . 3 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}
2	1	fveq2i 6673	. 2 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩})
3		opex 5356	. . 3 ⊢ ⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V
4		hashsng 13731	. . 3 ⊢ (⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V → (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1
6	2, 5	eqtri 2844	1 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494  {csn 4567  ⟨cop 4573   I cid 5459  ‘cfv 6355  0cc0 10537  1c1 10538  ♯chash 13691  ⟨“cs1 13949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-hash 13692  df-s1 13950

This theorem is referenced by:  s1dm  13962  lsws1  13965  eqs1  13966  wrdl1s1  13968  ccats1alpha  13973  ccatws1len  13974  ccat2s1len  13977  ccat2s1lenOLD  13978  ccats1val2  13983  ccat2s1p1  13985  ccat2s1p2  13986  ccat2s1p1OLD  13987  ccat2s1p2OLD  13988  cats1un  14083  revs1  14127  cats1fvn  14220  cats1len  14222  s2fv0  14249  s2fv1  14250  s2len  14251  s2prop  14269  s2eq2s1eq  14298  ofs2  14331  psgnpmtr  18638  efgsval2  18859  efgs1  18861  efgsp1  18863  efgsfo  18865  efgredlemc  18871  pgpfaclem1  19203  wlklenvclwlkOLD  27437  wwlksnext  27671  wwlksnextbi  27672  clwlkclwwlk2  27781  loopclwwlkn1b  27820  clwwlkn1loopb  27821  clwwlkel  27825  clwwlkwwlksb  27833  clwwlknon1  27876  1ewlk  27894  1pthdlem1  27914  1pthdlem2  27915  1wlkdlem1  27916  1wlkdlem4  27919  1pthond  27923  lp1cycl  27931  cycpmco2lem2  30769  cycpmco2lem5  30772  cycpmco2lem6  30773  signstf0  31838  signstfvn  31839  signstfvp  31841  signsvf1  31851  signsvfn  31852  signshf  31858  loop1cycl  32384