MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s1cl 13178
Description: A singleton word is a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 23-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
s1cl (𝐴𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)

Proof of Theorem s1cl
StepHypRef Expression
1 s1val 13174 . 2 (𝐴𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩})
2 snopiswrd 13112 . 2 (𝐴𝐵 → {⟨0, 𝐴⟩} ∈ Word 𝐵)
31, 2eqeltrd 2684 1 (𝐴𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  {csn 4121  cop 4127  0cc0 9789  Word cword 13089  ⟨“cs1 13092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-word 13097  df-s1 13100
This theorem is referenced by:  s1cld  13179  s1cli  13180  lsws1  13187  wrdl1s1  13190  ccatws1cl  13192  ccat2s1cl  13193  ccatws1len  13194  ccat2s1len  13196  ccats1val1  13198  ccats1val2  13199  ccat2s1p1  13200  ccat2s1p2  13201  ccatw2s1ass  13202  lswccats1  13206  cats1un  13270  reuccats1  13275  s2prop  13445  s2eq2s1eq  13474  gsumws2  17145  gsumccatsn  17146  vrmdfval  17159  vrmdval  17160  vrmdf  17161  psgnpmtr  17696  wwlknext  26015  wwlknextbi  26016  wwlkextsur  26022  clwwlkext2edg  26093  wwlkext2clwwlk  26094  rusgranumwlkb0  26243  clwwlkextfrlem1  26366  numclwwlkovf2ex  26376  numclwlk1lem2foa  26381  numclwlk1lem2fo  26385  signstf0  29774  signstfvn  29775  signstfvp  29777  signstfvneq0  29778  signsvf1  29787  wwlksnext  41098  wwlksnextbi  41099  wwlksnextsur  41105  rusgrnumwwlkb0  41173  clwwlksext2edg  41229  wwlksext2clwwlk  41230  1ewlk  41282  11wlkdlem3  41305  av-clwwlkextfrlem1  41508  av-numclwwlkovf2ex  41516  av-numclwlk1lem2foa  41520  av-numclwlk1lem2fo  41524
  Copyright terms: Public domain W3C validator