Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2wspdisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2wspdisj 26740
 Description: All simple paths of length 2 from a fixed vertex to another vertex are disjunct. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Mar-2018.) (Revised by AV, 14-May-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2wspdisj.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
2wspdisj ((𝐺𝑈𝐴𝑉) → Disj 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})(𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝐺,𝑏   𝑈,𝑏   𝑉,𝑏

Proof of Theorem 2wspdisj
Dummy variables 𝑐 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orc 400 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑐 → (𝑏 = 𝑐 ∨ ((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅))
21a1d 25 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑐 → ((((((𝐺𝑈𝐴𝑉) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑏 ∉ {𝐴}) ∧ 𝑐𝑉) ∧ 𝑐 ∉ {𝐴}) → (𝑏 = 𝑐 ∨ ((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅)))
3 wspthneq1eq2 26631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) → (𝐴 = 𝐴𝑏 = 𝑐))
43simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) → 𝑏 = 𝑐)
54ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) → (𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
65con3d 148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) → (¬ 𝑏 = 𝑐 → ¬ 𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)))
76impcom 446 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ 𝑏 = 𝑐𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) → ¬ 𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐))
87ralrimiva 2961 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏 = 𝑐 → ∀𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ¬ 𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐))
98adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑏 = 𝑐 ∧ (((((𝐺𝑈𝐴𝑉) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑏 ∉ {𝐴}) ∧ 𝑐𝑉) ∧ 𝑐 ∉ {𝐴})) → ∀𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ¬ 𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐))
10 disj 3994 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅ ↔ ∀𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ¬ 𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐))
119, 10sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑏 = 𝑐 ∧ (((((𝐺𝑈𝐴𝑉) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑏 ∉ {𝐴}) ∧ 𝑐𝑉) ∧ 𝑐 ∉ {𝐴})) → ((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅)
1211olcd 408 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑏 = 𝑐 ∧ (((((𝐺𝑈𝐴𝑉) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑏 ∉ {𝐴}) ∧ 𝑐𝑉) ∧ 𝑐 ∉ {𝐴})) → (𝑏 = 𝑐 ∨ ((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅))
1312ex 450 . . . . . . . . 9 𝑏 = 𝑐 → ((((((𝐺𝑈𝐴𝑉) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑏 ∉ {𝐴}) ∧ 𝑐𝑉) ∧ 𝑐 ∉ {𝐴}) → (𝑏 = 𝑐 ∨ ((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅)))
142, 13pm2.61i 176 . . . . . . . 8 ((((((𝐺𝑈𝐴𝑉) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑏 ∉ {𝐴}) ∧ 𝑐𝑉) ∧ 𝑐 ∉ {𝐴}) → (𝑏 = 𝑐 ∨ ((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅))
1514ex 450 . . . . . . 7 (((((𝐺𝑈𝐴𝑉) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑏 ∉ {𝐴}) ∧ 𝑐𝑉) → (𝑐 ∉ {𝐴} → (𝑏 = 𝑐 ∨ ((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅)))
1615ralrimiva 2961 . . . . . 6 ((((𝐺𝑈𝐴𝑉) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑏 ∉ {𝐴}) → ∀𝑐𝑉 (𝑐 ∉ {𝐴} → (𝑏 = 𝑐 ∨ ((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅)))
17 raldifb 3733 . . . . . 6 (∀𝑐𝑉 (𝑐 ∉ {𝐴} → (𝑏 = 𝑐 ∨ ((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅)) ↔ ∀𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})(𝑏 = 𝑐 ∨ ((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅))
1816, 17sylib 208 . . . . 5 ((((𝐺𝑈𝐴𝑉) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑏 ∉ {𝐴}) → ∀𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})(𝑏 = 𝑐 ∨ ((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅))
1918ex 450 . . . 4 (((𝐺𝑈𝐴𝑉) ∧ 𝑏𝑉) → (𝑏 ∉ {𝐴} → ∀𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})(𝑏 = 𝑐 ∨ ((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅)))
2019ralrimiva 2961 . . 3 ((𝐺𝑈𝐴𝑉) → ∀𝑏𝑉 (𝑏 ∉ {𝐴} → ∀𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})(𝑏 = 𝑐 ∨ ((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅)))
21 raldifb 3733 . . 3 (∀𝑏𝑉 (𝑏 ∉ {𝐴} → ∀𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})(𝑏 = 𝑐 ∨ ((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅)) ↔ ∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})∀𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})(𝑏 = 𝑐 ∨ ((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅))
2220, 21sylib 208 . 2 ((𝐺𝑈𝐴𝑉) → ∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})∀𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})(𝑏 = 𝑐 ∨ ((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅))
23 oveq2 6618 . . 3 (𝑏 = 𝑐 → (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) = (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐))
2423disjor 4602 . 2 (Disj 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})(𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})∀𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})(𝑏 = 𝑐 ∨ ((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅))
2522, 24sylibr 224 1 ((𝐺𝑈𝐴𝑉) → Disj 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})(𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ∉ wnel 2893  ∀wral 2907   ∖ cdif 3556   ∩ cin 3558  ∅c0 3896  {csn 4153  Disj wdisj 4588  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  2c2 11022  Vtxcvtx 25791   WSPathsNOn cwwspthsnon 26607 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1012  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-hash 13066  df-word 13246  df-wlks 26382  df-wlkson 26383  df-trls 26475  df-trlson 26476  df-pths 26498  df-spths 26499  df-pthson 26500  df-spthson 26501  df-wwlksnon 26610  df-wspthsnon 26612 This theorem is referenced by:  frgrhash2wsp  27072
 Copyright terms: Public domain W3C validator