Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frgrhash2wsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrhash2wsp 41495
Description: The number of simple paths of length 2 is n*(n-1) in a friendship graph with n vertices. This corresponds to the proof of claim 3 in [Huneke] p. 2: "... the paths of length two in G: by assumption there are ( n 2 ) such paths.". However, the order of vertices is not respected by Huneke, so he only counts half of the paths which are existing when respecting the order as it is the case for simple paths represented by words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-May-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
frgrhash2wsp.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrhash2wsp ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)))

Proof of Theorem frgrhash2wsp
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 11028 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
2 frgrhash2wsp.v . . . . . . 7 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
32wspniunwspnon 41128 . . . . . 6 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → (2 WSPathsN 𝐺) = 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
41, 3mpan 701 . . . . 5 (𝐺 ∈ FriendGraph → (2 WSPathsN 𝐺) = 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
54fveq2d 6088 . . . 4 (𝐺 ∈ FriendGraph → (#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = (#‘ 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
65adantr 479 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = (#‘ 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
7 simprl 789 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → 𝑉 ∈ Fin)
8 diffi 8050 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ∖ {𝑎}) ∈ Fin)
98ad2antrl 759 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (𝑉 ∖ {𝑎}) ∈ Fin)
109adantr 479 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ 𝑎𝑉) → (𝑉 ∖ {𝑎}) ∈ Fin)
112eleq1i 2674 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ Fin ↔ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
12 wspthnonfi 41127 . . . . . . . . 9 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
1311, 12sylbi 205 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
1413ad2antrl 759 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
1514adantr 479 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ 𝑎𝑉) → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
1615ralrimivw 2945 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ 𝑎𝑉) → ∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
17 iunfi 8110 . . . . 5 (((𝑉 ∖ {𝑎}) ∈ Fin ∧ ∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin) → 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
1810, 16, 17syl2anc 690 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ 𝑎𝑉) → 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
1922wspiundisj 41164 . . . . 5 Disj 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)
2019a1i 11 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → Disj 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
217, 18, 20hashiun 14337 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (#‘ 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = Σ𝑎𝑉 (#‘ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
2215adantr 479 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
2322wspdisj 41163 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) → Disj 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
2423adantlr 746 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ 𝑎𝑉) → Disj 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
2510, 22, 24hashiun 14337 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ 𝑎𝑉) → (#‘ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = Σ𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(#‘(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
26 simplll 793 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
27 simpr 475 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ 𝑎𝑉) → 𝑎𝑉)
28 eldifi 3689 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑏𝑉)
2927, 28anim12i 587 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (𝑎𝑉𝑏𝑉))
30 eldifsni 4256 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑏𝑎)
3130necomd 2832 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑎𝑏)
3231adantl 480 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → 𝑎𝑏)
332frgr2wsp1 41493 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑎𝑏) → (#‘(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = 1)
3426, 29, 32, 33syl3anc 1317 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (#‘(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = 1)
3534sumeq2dv 14223 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ 𝑎𝑉) → Σ𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(#‘(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = Σ𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})1)
36 ax-1cn 9846 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
378, 36jctir 558 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 ∈ Fin → ((𝑉 ∖ {𝑎}) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ))
3837adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝑉 ∖ {𝑎}) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ))
3938adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑎𝑉) → ((𝑉 ∖ {𝑎}) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ))
40 fsumconst 14306 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∖ {𝑎}) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})1 = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑎})) · 1))
4139, 40syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑎𝑉) → Σ𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})1 = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑎})) · 1))
42 hashdifsn 13011 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑎𝑉) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑎})) = ((#‘𝑉) − 1))
4342adantlr 746 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑎𝑉) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑎})) = ((#‘𝑉) − 1))
4443oveq1d 6538 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑎𝑉) → ((#‘(𝑉 ∖ {𝑎})) · 1) = (((#‘𝑉) − 1) · 1))
45 hashnncl 12966 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) ∈ ℕ ↔ 𝑉 ≠ ∅))
4645biimpar 500 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (#‘𝑉) ∈ ℕ)
47 nnm1nn0 11177 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0)
4948nn0red 11195 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℝ)
50 ax-1rid 9858 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑉) − 1) ∈ ℝ → (((#‘𝑉) − 1) · 1) = ((#‘𝑉) − 1))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (((#‘𝑉) − 1) · 1) = ((#‘𝑉) − 1))
5251adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑎𝑉) → (((#‘𝑉) − 1) · 1) = ((#‘𝑉) − 1))
5341, 44, 523eqtrd 2643 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑎𝑉) → Σ𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})1 = ((#‘𝑉) − 1))
5453adantll 745 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ 𝑎𝑉) → Σ𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})1 = ((#‘𝑉) − 1))
5525, 35, 543eqtrd 2643 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ 𝑎𝑉) → (#‘ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = ((#‘𝑉) − 1))
5655sumeq2dv 14223 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → Σ𝑎𝑉 (#‘ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = Σ𝑎𝑉 ((#‘𝑉) − 1))
57 hashcl 12957 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin → (#‘𝑉) ∈ ℕ0)
5857nn0cnd 11196 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ Fin → (#‘𝑉) ∈ ℂ)
59 1cnd 9908 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ Fin → 1 ∈ ℂ)
6058, 59subcld 10239 . . . . . 6 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℂ)
61 fsumconst 14306 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℂ) → Σ𝑎𝑉 ((#‘𝑉) − 1) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)))
6260, 61mpdan 698 . . . . 5 (𝑉 ∈ Fin → Σ𝑎𝑉 ((#‘𝑉) − 1) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)))
6362ad2antrl 759 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → Σ𝑎𝑉 ((#‘𝑉) − 1) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)))
6456, 63eqtrd 2639 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → Σ𝑎𝑉 (#‘ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)))
656, 21, 643eqtrd 2643 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)))
66653impb 1251 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  wral 2891  cdif 3532  c0 3869  {csn 4120   ciun 4445  Disj wdisj 4543  cfv 5786  (class class class)co 6523  Fincfn 7814  cc 9786  cr 9787  1c1 9789   · cmul 9793  cmin 10113  cn 10863  2c2 10913  0cn0 11135  #chash 12930  Σcsu 14206  Vtxcvtx 40227   WSPathsN cwwspthsn 41029   WSPathsNOn cwwspthsnon 41030   FriendGraph cfrgr 41426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-ac2 9141  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-ifp 1006  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-disj 4544  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-2o 7421  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-pm 7720  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-sup 8204  df-oi 8271  df-card 8621  df-ac 8795  df-cda 8846  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-rp 11661  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-seq 12615  df-exp 12674  df-hash 12931  df-word 13096  df-concat 13098  df-s1 13099  df-s2 13386  df-s3 13387  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-clim 14009  df-sum 14207  df-uhgr 40278  df-upgr 40306  df-umgr 40307  df-edga 40350  df-uspgr 40378  df-usgr 40379  df-1wlks 40798  df-wlks 40799  df-wlkson 40800  df-trls 40899  df-trlson 40900  df-pths 40921  df-spths 40922  df-pthson 40923  df-spthson 40924  df-wwlks 41031  df-wwlksn 41032  df-wwlksnon 41033  df-wspthsn 41034  df-wspthsnon 41035  df-frgr 41427
This theorem is referenced by:  frrusgrord0  41501
  Copyright terms: Public domain W3C validator