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Theorem aciunf1lem 28637
Description: Choice in an index union. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
acunirnmpt.0 (𝜑𝐴𝑉)
acunirnmpt.1 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵 ≠ ∅)
aciunf1lem.a 𝑗𝐴
aciunf1lem.1 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵𝑊)
Assertion
Ref Expression
aciunf1lem (𝜑 → ∃𝑓(𝑓: 𝑗𝐴 𝐵1-1 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵(2nd ‘(𝑓𝑥)) = 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑗,𝑥   𝐴,𝑓,𝑥   𝐵,𝑓,𝑥   𝑥,𝑗,𝜑   𝑗,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   𝑉(𝑥,𝑓,𝑗)   𝑊(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem aciunf1lem
Dummy variables 𝑘 𝑦 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acunirnmpt.0 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 acunirnmpt.1 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵 ≠ ∅)
3 aciunf1lem.a . . 3 𝑗𝐴
4 nfiu1 4480 . . 3 𝑗 𝑗𝐴 𝐵
5 nfcsb1v 3514 . . 3 𝑗(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵
6 eqid 2609 . . 3 𝑗𝐴 𝐵 = 𝑗𝐴 𝐵
7 csbeq1a 3507 . . 3 (𝑗 = (𝑔𝑥) → 𝐵 = (𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)
8 aciunf1lem.1 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵𝑊)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8acunirnmpt2f 28636 . 2 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵))
10 nfv 1829 . . . . . . . 8 𝑥𝜑
11 nfv 1829 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴
12 nfra1 2924 . . . . . . . . 9 𝑥𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵
1311, 12nfan 1815 . . . . . . . 8 𝑥(𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)
1410, 13nfan 1815 . . . . . . 7 𝑥(𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵))
15 nfv 1829 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝜑
16 nfcv 2750 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝑔
1716, 4, 3nff 5939 . . . . . . . . . . . 12 𝑗 𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴
18 nfcv 2750 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗𝑥
1918, 5nfel 2762 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗 𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵
204, 19nfral 2928 . . . . . . . . . . . 12 𝑗𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵
2117, 20nfan 1815 . . . . . . . . . . 11 𝑗(𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)
2215, 21nfan 1815 . . . . . . . . . 10 𝑗(𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵))
2318, 4nfel 2762 . . . . . . . . . 10 𝑗 𝑥 𝑗𝐴 𝐵
2422, 23nfan 1815 . . . . . . . . 9 𝑗((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵)
25 nfcv 2750 . . . . . . . . . 10 𝑗⟨(𝑔𝑥), 𝑥
26 nfiu1 4480 . . . . . . . . . 10 𝑗 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
2725, 26nfel 2762 . . . . . . . . 9 𝑗⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
28 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) → (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵))
2928simpld 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) → 𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴)
3029ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴)
31 simpllr 794 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 𝑗𝐴 𝐵)
3230, 31ffvelrnd 6252 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑔𝑥) ∈ 𝐴)
33 fvex 6097 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔𝑥) ∈ V
3433snid 4154 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔𝑥) ∈ {(𝑔𝑥)}
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑔𝑥) ∈ {(𝑔𝑥)})
3628simprd 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) → ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)
37 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) → 𝑥 𝑗𝐴 𝐵)
38 rsp 2912 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵 → (𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵))
3936, 37, 38sylc 62 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) → 𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)
4039ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)
4135, 40jca 552 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑔𝑥) ∈ {(𝑔𝑥)} ∧ 𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵))
42 opelxp 5059 . . . . . . . . . . . 12 (⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ ({(𝑔𝑥)} × (𝑔𝑥) / 𝑗𝐵) ↔ ((𝑔𝑥) ∈ {(𝑔𝑥)} ∧ 𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵))
4341, 42sylibr 222 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ ({(𝑔𝑥)} × (𝑔𝑥) / 𝑗𝐵))
44 sneq 4134 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑔𝑥) → {𝑘} = {(𝑔𝑥)})
45 csbeq1 3501 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑔𝑥) → 𝑘 / 𝑗𝐵 = (𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)
4644, 45xpeq12d 5053 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑔𝑥) → ({𝑘} × 𝑘 / 𝑗𝐵) = ({(𝑔𝑥)} × (𝑔𝑥) / 𝑗𝐵))
4746eleq2d 2672 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑔𝑥) → (⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ ({𝑘} × 𝑘 / 𝑗𝐵) ↔ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ ({(𝑔𝑥)} × (𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)))
4847rspcev 3281 . . . . . . . . . . 11 (((𝑔𝑥) ∈ 𝐴 ∧ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ ({(𝑔𝑥)} × (𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) → ∃𝑘𝐴 ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ ({𝑘} × 𝑘 / 𝑗𝐵))
4932, 43, 48syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → ∃𝑘𝐴 ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ ({𝑘} × 𝑘 / 𝑗𝐵))
50 eliun 4454 . . . . . . . . . . 11 (⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑗𝐴 ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ ({𝑗} × 𝐵))
51 nfcv 2750 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝐴
52 nfv 1829 . . . . . . . . . . . 12 𝑘⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ ({𝑗} × 𝐵)
53 nfcv 2750 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗{𝑘}
54 nfcsb1v 3514 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗𝑘 / 𝑗𝐵
5553, 54nfxp 5055 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗({𝑘} × 𝑘 / 𝑗𝐵)
5625, 55nfel 2762 . . . . . . . . . . . 12 𝑗⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ ({𝑘} × 𝑘 / 𝑗𝐵)
57 sneq 4134 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑘 → {𝑗} = {𝑘})
58 csbeq1a 3507 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑘𝐵 = 𝑘 / 𝑗𝐵)
5957, 58xpeq12d 5053 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑘 → ({𝑗} × 𝐵) = ({𝑘} × 𝑘 / 𝑗𝐵))
6059eleq2d 2672 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↔ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ ({𝑘} × 𝑘 / 𝑗𝐵)))
613, 51, 52, 56, 60cbvrexf 3141 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑗𝐴 ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑘𝐴 ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ ({𝑘} × 𝑘 / 𝑗𝐵))
6250, 61bitri 262 . . . . . . . . . 10 (⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑘𝐴 ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ ({𝑘} × 𝑘 / 𝑗𝐵))
6349, 62sylibr 222 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
64 eliun 4454 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑗𝐴 𝑥𝐵)
6564biimpi 204 . . . . . . . . . 10 (𝑥 𝑗𝐴 𝐵 → ∃𝑗𝐴 𝑥𝐵)
6665adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) → ∃𝑗𝐴 𝑥𝐵)
6724, 27, 63, 66r19.29af2 3056 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) → ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
6867ex 448 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) → (𝑥 𝑗𝐴 𝐵 → ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)))
6914, 68ralrimi 2939 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) → ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
70 vex 3175 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
7133, 70opth 4864 . . . . . . . . 9 (⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ = ⟨(𝑔𝑦), 𝑦⟩ ↔ ((𝑔𝑥) = (𝑔𝑦) ∧ 𝑥 = 𝑦))
7271simprbi 478 . . . . . . . 8 (⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ = ⟨(𝑔𝑦), 𝑦⟩ → 𝑥 = 𝑦)
7372rgen2w 2908 . . . . . . 7 𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑦 𝑗𝐴 𝐵(⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ = ⟨(𝑔𝑦), 𝑦⟩ → 𝑥 = 𝑦)
7473a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) → ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑦 𝑗𝐴 𝐵(⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ = ⟨(𝑔𝑦), 𝑦⟩ → 𝑥 = 𝑦))
7569, 74jca 552 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) → (∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑦 𝑗𝐴 𝐵(⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ = ⟨(𝑔𝑦), 𝑦⟩ → 𝑥 = 𝑦)))
76 eqid 2609 . . . . . 6 (𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩) = (𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)
77 fveq2 6087 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑦))
78 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦)
7977, 78opeq12d 4342 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ = ⟨(𝑔𝑦), 𝑦⟩)
8076, 79f1mpt 6396 . . . . 5 ((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩): 𝑗𝐴 𝐵1-1 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↔ (∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑦 𝑗𝐴 𝐵(⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ = ⟨(𝑔𝑦), 𝑦⟩ → 𝑥 = 𝑦)))
8175, 80sylibr 222 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) → (𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩): 𝑗𝐴 𝐵1-1 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
82 opex 4852 . . . . . . . . . 10 ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ V
8376fvmpt2 6184 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ∧ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩ ∈ V) → ((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)‘𝑥) = ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)
8482, 83mpan2 702 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝑗𝐴 𝐵 → ((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)‘𝑥) = ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)
8537, 84syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) → ((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)‘𝑥) = ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)
8685fveq2d 6091 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) → (2nd ‘((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)‘𝑥)) = (2nd ‘⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩))
8733, 70op2nd 7045 . . . . . . 7 (2nd ‘⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩) = 𝑥
8886, 87syl6eq 2659 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) ∧ 𝑥 𝑗𝐴 𝐵) → (2nd ‘((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)‘𝑥)) = 𝑥)
8988ex 448 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) → (𝑥 𝑗𝐴 𝐵 → (2nd ‘((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)‘𝑥)) = 𝑥))
9014, 89ralrimi 2939 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) → ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵(2nd ‘((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)‘𝑥)) = 𝑥)
9181, 90jca 552 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) → ((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩): 𝑗𝐴 𝐵1-1 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵(2nd ‘((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)‘𝑥)) = 𝑥))
92 nfcv 2750 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝑘
9392, 3nfel 2762 . . . . . . . . . 10 𝑗 𝑘𝐴
9415, 93nfan 1815 . . . . . . . . 9 𝑗(𝜑𝑘𝐴)
95 nfcv 2750 . . . . . . . . . 10 𝑗𝑊
9654, 95nfel 2762 . . . . . . . . 9 𝑗𝑘 / 𝑗𝐵𝑊
9794, 96nfim 1812 . . . . . . . 8 𝑗((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 / 𝑗𝐵𝑊)
98 eleq1 2675 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝐴𝑘𝐴))
9998anbi2d 735 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑𝑗𝐴) ↔ (𝜑𝑘𝐴)))
10058eleq1d 2671 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (𝐵𝑊𝑘 / 𝑗𝐵𝑊))
10199, 100imbi12d 332 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵𝑊) ↔ ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 / 𝑗𝐵𝑊)))
10297, 101, 8chvar 2249 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 / 𝑗𝐵𝑊)
103102ralrimiva 2948 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝑘 / 𝑗𝐵𝑊)
104 nfcv 2750 . . . . . . . 8 𝑘𝐵
1053, 51, 104, 54, 58cbviunf 28548 . . . . . . 7 𝑗𝐴 𝐵 = 𝑘𝐴 𝑘 / 𝑗𝐵
106 iunexg 7012 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝑘 / 𝑗𝐵𝑊) → 𝑘𝐴 𝑘 / 𝑗𝐵 ∈ V)
107105, 106syl5eqel 2691 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝑘 / 𝑗𝐵𝑊) → 𝑗𝐴 𝐵 ∈ V)
1081, 103, 107syl2anc 690 . . . . 5 (𝜑 𝑗𝐴 𝐵 ∈ V)
109 mptexg 6366 . . . . 5 ( 𝑗𝐴 𝐵 ∈ V → (𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩) ∈ V)
110 f1eq1 5993 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩) → (𝑓: 𝑗𝐴 𝐵1-1 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↔ (𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩): 𝑗𝐴 𝐵1-1 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)))
111 nfcv 2750 . . . . . . . . 9 𝑥𝑓
112 nfmpt1 4669 . . . . . . . . 9 𝑥(𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)
113111, 112nfeq 2761 . . . . . . . 8 𝑥 𝑓 = (𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)
114 fveq1 6086 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩) → (𝑓𝑥) = ((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)‘𝑥))
115114fveq2d 6091 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩) → (2nd ‘(𝑓𝑥)) = (2nd ‘((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)‘𝑥)))
116115eqeq1d 2611 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩) → ((2nd ‘(𝑓𝑥)) = 𝑥 ↔ (2nd ‘((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)‘𝑥)) = 𝑥))
117113, 116ralbid 2965 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩) → (∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵(2nd ‘(𝑓𝑥)) = 𝑥 ↔ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵(2nd ‘((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)‘𝑥)) = 𝑥))
118110, 117anbi12d 742 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩) → ((𝑓: 𝑗𝐴 𝐵1-1 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵(2nd ‘(𝑓𝑥)) = 𝑥) ↔ ((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩): 𝑗𝐴 𝐵1-1 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵(2nd ‘((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)‘𝑥)) = 𝑥)))
119118spcegv 3266 . . . . 5 ((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩) ∈ V → (((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩): 𝑗𝐴 𝐵1-1 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵(2nd ‘((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)‘𝑥)) = 𝑥) → ∃𝑓(𝑓: 𝑗𝐴 𝐵1-1 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵(2nd ‘(𝑓𝑥)) = 𝑥)))
120108, 109, 1193syl 18 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩): 𝑗𝐴 𝐵1-1 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵(2nd ‘((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)‘𝑥)) = 𝑥) → ∃𝑓(𝑓: 𝑗𝐴 𝐵1-1 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵(2nd ‘(𝑓𝑥)) = 𝑥)))
121120adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) → (((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩): 𝑗𝐴 𝐵1-1 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵(2nd ‘((𝑥 𝑗𝐴 𝐵 ↦ ⟨(𝑔𝑥), 𝑥⟩)‘𝑥)) = 𝑥) → ∃𝑓(𝑓: 𝑗𝐴 𝐵1-1 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵(2nd ‘(𝑓𝑥)) = 𝑥)))
12291, 121mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑔: 𝑗𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵𝑥(𝑔𝑥) / 𝑗𝐵)) → ∃𝑓(𝑓: 𝑗𝐴 𝐵1-1 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵(2nd ‘(𝑓𝑥)) = 𝑥))
1239, 122exlimddv 1849 1 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓: 𝑗𝐴 𝐵1-1 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∧ ∀𝑥 𝑗𝐴 𝐵(2nd ‘(𝑓𝑥)) = 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1976  wnfc 2737  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  Vcvv 3172  csb 3498  c0 3873  {csn 4124  cop 4130   ciun 4449  cmpt 4637   × cxp 5025  wf 5785  1-1wf1 5786  cfv 5789  2nd c2nd 7035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-reg 8357  ax-inf2 8398  ax-ac2 9145
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-se 4987  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-isom 5798  df-riota 6488  df-om 6935  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-en 7819  df-r1 8487  df-rank 8488  df-card 8625  df-ac 8799
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