Theorem addcomnq 10373

Description: Addition of positive fractions is commutative. (Contributed by NM, 30-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addcomnq	⊢ (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴)

Proof of Theorem addcomnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcompq 10372	. . . 4 ⊢ (𝐴 +pQ 𝐵) = (𝐵 +pQ 𝐴)
2	1	fveq2i 6673	. . 3 ⊢ ([Q]‘(𝐴 +pQ 𝐵)) = ([Q]‘(𝐵 +pQ 𝐴))
3		addpqnq 10360	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = ([Q]‘(𝐴 +pQ 𝐵)))
4		addpqnq 10360	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → (𝐵 +Q 𝐴) = ([Q]‘(𝐵 +pQ 𝐴)))
5	4	ancoms 461	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐵 +Q 𝐴) = ([Q]‘(𝐵 +pQ 𝐴)))
6	2, 3, 5	3eqtr4a 2882	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴))
7		addnqf 10370	. . . 4 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
8	7	fdmi 6524	. . 3 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
9	8	ndmovcom 7335	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴))
10	6, 9	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   × cxp 5553  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   +_pQ cplpq 10270  Qcnq 10274  [Q]cerq 10276   +_Q cplq 10277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-omul 8107  df-er 8289  df-ni 10294  df-pli 10295  df-mi 10296  df-lti 10297  df-plpq 10330  df-enq 10333  df-nq 10334  df-erq 10335  df-plq 10336  df-1nq 10338

This theorem is referenced by:  ltaddnq  10396  addclprlem2  10439  addclpr  10440  addcompr  10443  distrlem4pr  10448  prlem934  10455  ltexprlem2  10459  ltexprlem6  10463  ltexprlem7  10464  prlem936  10469