Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  archiabllem2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem archiabllem2b 29724
Description: Lemma for archiabl 29726. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiabllem.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0 0 = (0g𝑊)
archiabllem.e = (le‘𝑊)
archiabllem.t < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m · = (.g𝑊)
archiabllem.g (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a (𝜑𝑊 ∈ Archi)
archiabllem2.1 + = (+g𝑊)
archiabllem2.2 (𝜑 → (oppg𝑊) ∈ oGrp)
archiabllem2.3 ((𝜑𝑎𝐵0 < 𝑎) → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎))
archiabllem2b.4 (𝜑𝑋𝐵)
archiabllem2b.5 (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
archiabllem2b (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐵   𝑊,𝑎,𝑏   𝑋,𝑎,𝑏   𝑌,𝑎,𝑏   𝜑,𝑎,𝑏   + ,𝑎,𝑏   ,𝑎,𝑏   < ,𝑎,𝑏   0 ,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   · (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem archiabllem2b
StepHypRef Expression
1 archiabllem.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑊)
2 archiabllem.0 . . 3 0 = (0g𝑊)
3 archiabllem.e . . 3 = (le‘𝑊)
4 archiabllem.t . . 3 < = (lt‘𝑊)
5 archiabllem.m . . 3 · = (.g𝑊)
6 archiabllem.g . . 3 (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
7 archiabllem.a . . 3 (𝜑𝑊 ∈ Archi)
8 archiabllem2.1 . . 3 + = (+g𝑊)
9 archiabllem2.2 . . 3 (𝜑 → (oppg𝑊) ∈ oGrp)
10 archiabllem2.3 . . 3 ((𝜑𝑎𝐵0 < 𝑎) → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎))
11 archiabllem2b.4 . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
12 archiabllem2b.5 . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12archiabllem2c 29723 . 2 (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋))
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 11archiabllem2c 29723 . 2 (𝜑 → ¬ (𝑌 + 𝑋) < (𝑋 + 𝑌))
15 isogrp 29676 . . . . 5 (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
1615simprbi 480 . . . 4 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
17 omndtos 29679 . . . 4 (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
186, 16, 173syl 18 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ Toset)
19 ogrpgrp 29677 . . . . 5 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
206, 19syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
211, 8grpcl 17411 . . . 4 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
2220, 11, 12, 21syl3anc 1324 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
231, 8grpcl 17411 . . . 4 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
2420, 12, 11, 23syl3anc 1324 . . 3 (𝜑 → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
251, 4tlt3 29639 . . 3 ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋) ∨ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋) ∨ (𝑌 + 𝑋) < (𝑋 + 𝑌)))
2618, 22, 24, 25syl3anc 1324 . 2 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋) ∨ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋) ∨ (𝑌 + 𝑋) < (𝑋 + 𝑌)))
2713, 14, 26ecase23d 1434 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3o 1035  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wrex 2910   class class class wbr 4644  cfv 5876  (class class class)co 6635  Basecbs 15838  +gcplusg 15922  lecple 15929  0gc0g 16081  ltcplt 16922  Tosetctos 17014  Grpcgrp 17403  .gcmg 17521  oppgcoppg 17756  oMndcomnd 29671  oGrpcogrp 29672  Archicarchi 29705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-tpos 7337  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-fz 12312  df-seq 12785  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-plusg 15935  df-ple 15942  df-0g 16083  df-preset 16909  df-poset 16927  df-plt 16939  df-toset 17015  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-mulg 17522  df-oppg 17757  df-omnd 29673  df-ogrp 29674  df-inftm 29706  df-archi 29707
This theorem is referenced by:  archiabllem2  29725
  Copyright terms: Public domain W3C validator