MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcc4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axcc4 9221
Description: A version of axcc3 9220 that uses wffs instead of classes. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcc4.1 𝐴 ∈ V
axcc4.2 𝑁 ≈ ω
axcc4.3 (𝑥 = (𝑓𝑛) → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
axcc4 (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑛,𝑥   𝑓,𝑁,𝑛   𝜑,𝑓   𝜓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝜓(𝑓,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem axcc4
StepHypRef Expression
1 axcc4.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
21rabex 4783 . . 3 {𝑥𝐴𝜑} ∈ V
3 axcc4.2 . . 3 𝑁 ≈ ω
42, 3axcc3 9220 . 2 𝑓(𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 ({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑}))
5 rabn0 3938 . . . . . . . . . 10 ({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝐴 𝜑)
6 pm2.27 42 . . . . . . . . . 10 ({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑}) → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑}))
75, 6sylbir 225 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐴 𝜑 → (({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑}) → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑}))
8 axcc4.3 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑓𝑛) → (𝜑𝜓))
98elrab 3351 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑} ↔ ((𝑓𝑛) ∈ 𝐴𝜓))
107, 9syl6ib 241 . . . . . . . 8 (∃𝑥𝐴 𝜑 → (({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑}) → ((𝑓𝑛) ∈ 𝐴𝜓)))
1110ral2imi 2943 . . . . . . 7 (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → (∀𝑛𝑁 ({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑}) → ∀𝑛𝑁 ((𝑓𝑛) ∈ 𝐴𝜓)))
12 simpl 473 . . . . . . . 8 (((𝑓𝑛) ∈ 𝐴𝜓) → (𝑓𝑛) ∈ 𝐴)
1312ralimi 2948 . . . . . . 7 (∀𝑛𝑁 ((𝑓𝑛) ∈ 𝐴𝜓) → ∀𝑛𝑁 (𝑓𝑛) ∈ 𝐴)
1411, 13syl6 35 . . . . . 6 (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → (∀𝑛𝑁 ({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑}) → ∀𝑛𝑁 (𝑓𝑛) ∈ 𝐴))
1514anim2d 588 . . . . 5 (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ((𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 ({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑})) → (𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑓𝑛) ∈ 𝐴)))
16 ffnfv 6354 . . . . 5 (𝑓:𝑁𝐴 ↔ (𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑓𝑛) ∈ 𝐴))
1715, 16syl6ibr 242 . . . 4 (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ((𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 ({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑})) → 𝑓:𝑁𝐴))
18 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝑓𝑛) ∈ 𝐴𝜓) → 𝜓)
1918ralimi 2948 . . . . . 6 (∀𝑛𝑁 ((𝑓𝑛) ∈ 𝐴𝜓) → ∀𝑛𝑁 𝜓)
2011, 19syl6 35 . . . . 5 (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → (∀𝑛𝑁 ({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑}) → ∀𝑛𝑁 𝜓))
2120adantld 483 . . . 4 (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ((𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 ({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑})) → ∀𝑛𝑁 𝜓))
2217, 21jcad 555 . . 3 (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ((𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 ({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑})) → (𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)))
2322eximdv 1843 . 2 (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → (∃𝑓(𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 ({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑})) → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)))
244, 23mpi 20 1 (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wral 2908  wrex 2909  {crab 2912  Vcvv 3190  c0 3897   class class class wbr 4623   Fn wfn 5852  wf 5853  cfv 5857  ωcom 7027  cen 7912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cc 9217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-om 7028  df-2nd 7129  df-er 7702  df-en 7916
This theorem is referenced by:  axcc4dom  9223  supcvg  14532  1stcelcls  21204  iscmet3  23031  ovoliunlem3  23212  itg2seq  23449  nmounbseqi  27520  nmobndseqi  27522  minvecolem5  27625  heibor  33291
  Copyright terms: Public domain W3C validator