MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blss2 22132
Description: One ball is contained in another if the center-to-center distance is less than the difference of the radii. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
blss2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆))

Proof of Theorem blss2
StepHypRef Expression
1 simpl1 1062 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 simpl2 1063 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → 𝑃𝑋)
3 simpl3 1064 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → 𝑄𝑋)
4 simpr1 1065 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → 𝑅 ∈ ℝ)
54rexrd 10041 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → 𝑅 ∈ ℝ*)
6 simpr2 1066 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → 𝑆 ∈ ℝ)
76rexrd 10041 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → 𝑆 ∈ ℝ*)
86, 4resubcld 10410 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → (𝑆𝑅) ∈ ℝ)
9 simpr3 1067 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))
10 xmetlecl 22074 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ ((𝑆𝑅) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
111, 2, 3, 8, 9, 10syl122anc 1332 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
12 rexsub 12015 . . . 4 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) = (𝑆𝑅))
136, 4, 12syl2anc 692 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) = (𝑆𝑅))
149, 13breqtrrd 4646 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅))
151, 2, 3, 5, 7, 11, 14xblss2 22130 1 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3559   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  cr 9887  cle 10027  cmin 10218  -𝑒cxne 11895   +𝑒 cxad 11896  ∞Metcxmt 19663  ballcbl 19665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-2 11031  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-bl 19673
This theorem is referenced by:  blhalf  22133  blss  22153  metdstri  22577  ssbnd  33254  totbndbnd  33255  heiborlem6  33282
  Copyright terms: Public domain W3C validator