Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemn3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemn3 38215
Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 31. (Contributed by NM, 21-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemn3.l = (le‘𝐾)
cdlemn3.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemn3.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn3.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemn3.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn3.f 𝐹 = (𝑇 (𝑃) = 𝑄)
cdlemn3.g 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑅)
cdlemn3.j 𝐽 = (𝑇 (𝑄) = 𝑅)
Assertion
Ref Expression
cdlemn3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (𝐽𝐹) = 𝐺)
Distinct variable groups:   ,   𝐴,   ,𝐻   ,𝐾   𝑃,   𝑄,   𝑅,   𝑇,   ,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐹()   𝐺()   𝐽()

Proof of Theorem cdlemn3
StepHypRef Expression
1 simp1 1128 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 cdlemn3.l . . . . . . . . . 10 = (le‘𝐾)
3 cdlemn3.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 cdlemn3.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 cdlemn3.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
62, 3, 4, 5lhpocnel2 37037 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
763ad2ant1 1125 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
8 simp2 1129 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
9 cdlemn3.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10 cdlemn3.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑇 (𝑃) = 𝑄)
112, 3, 4, 9, 10ltrniotacl 37597 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → 𝐹𝑇)
121, 7, 8, 11syl3anc 1363 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → 𝐹𝑇)
13 eqid 2821 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1413, 4, 9ltrn1o 37142 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
151, 12, 14syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
16 f1of 6609 . . . . . 6 (𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → 𝐹:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
1715, 16syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → 𝐹:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
187simpld 495 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → 𝑃𝐴)
1913, 3atbase 36307 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
2018, 19syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
21 fvco3 6754 . . . . 5 ((𝐹:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐽𝐹)‘𝑃) = (𝐽‘(𝐹𝑃)))
2217, 20, 21syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → ((𝐽𝐹)‘𝑃) = (𝐽‘(𝐹𝑃)))
232, 3, 4, 9, 10ltrniotaval 37599 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐹𝑃) = 𝑄)
241, 7, 8, 23syl3anc 1363 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (𝐹𝑃) = 𝑄)
2524fveq2d 6668 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (𝐽‘(𝐹𝑃)) = (𝐽𝑄))
26 cdlemn3.j . . . . 5 𝐽 = (𝑇 (𝑄) = 𝑅)
272, 3, 4, 9, 26ltrniotaval 37599 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (𝐽𝑄) = 𝑅)
2822, 25, 273eqtrd 2860 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → ((𝐽𝐹)‘𝑃) = 𝑅)
29 cdlemn3.g . . . . 5 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑅)
302, 3, 4, 9, 29ltrniotaval 37599 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (𝐺𝑃) = 𝑅)
317, 30syld3an2 1403 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (𝐺𝑃) = 𝑅)
3228, 31eqtr4d 2859 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → ((𝐽𝐹)‘𝑃) = (𝐺𝑃))
332, 3, 4, 9, 26ltrniotacl 37597 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → 𝐽𝑇)
344, 9ltrnco 37737 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐽𝑇𝐹𝑇) → (𝐽𝐹) ∈ 𝑇)
351, 33, 12, 34syl3anc 1363 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (𝐽𝐹) ∈ 𝑇)
362, 3, 4, 9, 29ltrniotacl 37597 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → 𝐺𝑇)
377, 36syld3an2 1403 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → 𝐺𝑇)
382, 3, 4, 9ltrneq3 37226 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐽𝐹) ∈ 𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐽𝐹)‘𝑃) = (𝐺𝑃) ↔ (𝐽𝐹) = 𝐺))
391, 35, 37, 7, 38syl121anc 1367 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (((𝐽𝐹)‘𝑃) = (𝐺𝑃) ↔ (𝐽𝐹) = 𝐺))
4032, 39mpbid 233 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (𝐽𝐹) = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5058  ccom 5553  wf 6345  1-1-ontowf1o 6348  cfv 6349  crio 7102  Basecbs 16473  lecple 16562  occoc 16563  Atomscatm 36281  HLchlt 36368  LHypclh 37002  LTrncltrn 37119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-riotaBAD 35971
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-undef 7930  df-map 8398  df-proset 17528  df-poset 17546  df-plt 17558  df-lub 17574  df-glb 17575  df-join 17576  df-meet 17577  df-p0 17639  df-p1 17640  df-lat 17646  df-clat 17708  df-oposet 36194  df-ol 36196  df-oml 36197  df-covers 36284  df-ats 36285  df-atl 36316  df-cvlat 36340  df-hlat 36369  df-llines 36516  df-lplanes 36517  df-lvols 36518  df-lines 36519  df-psubsp 36521  df-pmap 36522  df-padd 36814  df-lhyp 37006  df-laut 37007  df-ldil 37122  df-ltrn 37123  df-trl 37177
This theorem is referenced by:  cdlemn4  38216
  Copyright terms: Public domain W3C validator