Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnvordtrestixx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvordtrestixx 29094
Description: The restriction of the 'greater than' order to an interval gives the same topology as the subspace topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnvordtrestixx.1 𝐴 ⊆ ℝ*
cnvordtrestixx.2 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
cnvordtrestixx ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) = (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem cnvordtrestixx
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lern 16944 . . . . 5 * = ran ≤
2 df-rn 4943 . . . . 5 ran ≤ = dom
31, 2eqtri 2536 . . . 4 * = dom
4 letsr 16946 . . . . . 6 ≤ ∈ TosetRel
5 cnvtsr 16941 . . . . . 6 ( ≤ ∈ TosetRel → ≤ ∈ TosetRel )
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 ≤ ∈ TosetRel
76a1i 11 . . . 4 (⊤ → ≤ ∈ TosetRel )
8 cnvordtrestixx.1 . . . . 5 𝐴 ⊆ ℝ*
98a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐴 ⊆ ℝ*)
10 brcnvg 5117 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑦𝑧𝑧𝑦))
1110adantlr 746 . . . . . . . . 9 (((𝑦𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑦𝑧𝑧𝑦))
12 simpr 475 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → 𝑧 ∈ ℝ*)
13 simplr 787 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → 𝑥𝐴)
14 brcnvg 5117 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑥𝐴) → (𝑧𝑥𝑥𝑧))
1512, 13, 14syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (((𝑦𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑧𝑥𝑥𝑧))
1611, 15anbi12d 742 . . . . . . . 8 (((𝑦𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑦𝑧𝑧𝑥) ↔ (𝑧𝑦𝑥𝑧)))
17 ancom 464 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑦𝑥𝑧) ↔ (𝑥𝑧𝑧𝑦))
1816, 17syl6bb 274 . . . . . . 7 (((𝑦𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑦𝑧𝑧𝑥) ↔ (𝑥𝑧𝑧𝑦)))
1918rabbidva 3067 . . . . . 6 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑦𝑧𝑧𝑥)} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
20 simpr 475 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
218, 20sseldi 3470 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
22 simpl 471 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → 𝑦𝐴)
238, 22sseldi 3470 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
24 iccval 11950 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥[,]𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
2521, 23, 24syl2anc 690 . . . . . . 7 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → (𝑥[,]𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
26 cnvordtrestixx.2 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
2726ancoms 467 . . . . . . 7 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
2825, 27eqsstr3d 3507 . . . . . 6 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)} ⊆ 𝐴)
2919, 28eqsstrd 3506 . . . . 5 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑦𝑧𝑧𝑥)} ⊆ 𝐴)
3029adantl 480 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑦𝐴𝑥𝐴)) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑦𝑧𝑧𝑥)} ⊆ 𝐴)
313, 7, 9, 30ordtrest2 20725 . . 3 (⊤ → (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴))
3231trud 1483 . 2 (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴)
33 tsrps 16940 . . . . 5 ( ≤ ∈ TosetRel → ≤ ∈ PosetRel)
344, 33ax-mp 5 . . . 4 ≤ ∈ PosetRel
35 ordtcnv 20722 . . . 4 ( ≤ ∈ PosetRel → (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ ))
3634, 35ax-mp 5 . . 3 (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
3736oveq1i 6435 . 2 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴)
3832, 37eqtr2i 2537 1 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) = (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wtru 1475  wcel 1938  {crab 2804  cin 3443  wss 3444   class class class wbr 4481   × cxp 4930  ccnv 4931  dom cdm 4932  ran crn 4933  cfv 5689  (class class class)co 6425  *cxr 9826  cle 9828  [,]cicc 11914  t crest 15792  ordTopcordt 15870  PosetRelcps 16917   TosetRel ctsr 16918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6721  ax-cnex 9745  ax-resscn 9746  ax-pre-lttri 9763  ax-pre-lttrn 9764
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-iin 4356  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-om 6832  df-1st 6932  df-2nd 6933  df-wrecs 7167  df-recs 7229  df-rdg 7267  df-1o 7321  df-oadd 7325  df-er 7503  df-en 7716  df-dom 7717  df-sdom 7718  df-fin 7719  df-fi 8074  df-pnf 9829  df-mnf 9830  df-xr 9831  df-ltxr 9832  df-le 9833  df-icc 11918  df-rest 15794  df-topgen 15815  df-ordt 15872  df-ps 16919  df-tsr 16920  df-top 20428  df-bases 20429  df-topon 20430
This theorem is referenced by:  xrge0iifhmeo  29117
  Copyright terms: Public domain W3C validator