Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnvordtrestixx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvordtrestixx 29783
 Description: The restriction of the 'greater than' order to an interval gives the same topology as the subspace topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnvordtrestixx.1 𝐴 ⊆ ℝ*
cnvordtrestixx.2 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
cnvordtrestixx ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) = (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem cnvordtrestixx
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lern 17165 . . . . 5 * = ran ≤
2 df-rn 5095 . . . . 5 ran ≤ = dom
31, 2eqtri 2643 . . . 4 * = dom
4 letsr 17167 . . . . . 6 ≤ ∈ TosetRel
5 cnvtsr 17162 . . . . . 6 ( ≤ ∈ TosetRel → ≤ ∈ TosetRel )
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 ≤ ∈ TosetRel
76a1i 11 . . . 4 (⊤ → ≤ ∈ TosetRel )
8 cnvordtrestixx.1 . . . . 5 𝐴 ⊆ ℝ*
98a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐴 ⊆ ℝ*)
10 brcnvg 5273 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑦𝑧𝑧𝑦))
1110adantlr 750 . . . . . . . . 9 (((𝑦𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑦𝑧𝑧𝑦))
12 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → 𝑧 ∈ ℝ*)
13 simplr 791 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → 𝑥𝐴)
14 brcnvg 5273 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑥𝐴) → (𝑧𝑥𝑥𝑧))
1512, 13, 14syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝑦𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑧𝑥𝑥𝑧))
1611, 15anbi12d 746 . . . . . . . 8 (((𝑦𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑦𝑧𝑧𝑥) ↔ (𝑧𝑦𝑥𝑧)))
17 ancom 466 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑦𝑥𝑧) ↔ (𝑥𝑧𝑧𝑦))
1816, 17syl6bb 276 . . . . . . 7 (((𝑦𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑦𝑧𝑧𝑥) ↔ (𝑥𝑧𝑧𝑦)))
1918rabbidva 3180 . . . . . 6 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑦𝑧𝑧𝑥)} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
20 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
218, 20sseldi 3586 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
22 simpl 473 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → 𝑦𝐴)
238, 22sseldi 3586 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
24 iccval 12172 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥[,]𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
2521, 23, 24syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → (𝑥[,]𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
26 cnvordtrestixx.2 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
2726ancoms 469 . . . . . . 7 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
2825, 27eqsstr3d 3625 . . . . . 6 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)} ⊆ 𝐴)
2919, 28eqsstrd 3624 . . . . 5 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑦𝑧𝑧𝑥)} ⊆ 𝐴)
3029adantl 482 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑦𝐴𝑥𝐴)) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑦𝑧𝑧𝑥)} ⊆ 𝐴)
313, 7, 9, 30ordtrest2 20948 . . 3 (⊤ → (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴))
3231trud 1490 . 2 (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴)
33 tsrps 17161 . . . . 5 ( ≤ ∈ TosetRel → ≤ ∈ PosetRel)
344, 33ax-mp 5 . . . 4 ≤ ∈ PosetRel
35 ordtcnv 20945 . . . 4 ( ≤ ∈ PosetRel → (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ ))
3634, 35ax-mp 5 . . 3 (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
3736oveq1i 6625 . 2 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴)
3832, 37eqtr2i 2644 1 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) = (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480  ⊤wtru 1481   ∈ wcel 1987  {crab 2912   ∩ cin 3559   ⊆ wss 3560   class class class wbr 4623   × cxp 5082  ◡ccnv 5083  dom cdm 5084  ran crn 5085  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  ℝ*cxr 10033   ≤ cle 10035  [,]cicc 12136   ↾t crest 16021  ordTopcordt 16099  PosetRelcps 17138   TosetRel ctsr 17139 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fi 8277  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-icc 12140  df-rest 16023  df-topgen 16044  df-ordt 16101  df-ps 17140  df-tsr 17141  df-top 20639  df-topon 20656  df-bases 20690 This theorem is referenced by:  xrge0iifhmeo  29806
 Copyright terms: Public domain W3C validator