Theorem cycpmco2lem1 30768

Description: Lemma for cycpmco2 30775. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpmco2.c	⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmco2.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmco2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmco2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
cycpmco2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
cycpmco2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
cycpmco2.e	⊢ 𝐸 = ((◡𝑊‘𝐽) + 1)
cycpmco2.1	⊢ 𝑈 = (𝑊 splice ⟨𝐸, 𝐸, ⟨“𝐼”⟩⟩)

Assertion

Ref	Expression
cycpmco2lem1	⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊)‘((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐼)) = ((𝑀‘𝑊)‘𝐽))

Proof of Theorem cycpmco2lem1

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycpmco2.c	. . 3 ⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
2		cycpmco2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		cycpmco2.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
4	3	eldifad 3948	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
5		ssrab2 4056	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ⊆ Word 𝐷
6		cycpmco2.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
7		cycpmco2.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
8		eqid 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
9	1, 7, 8	tocycf 30759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
10	2, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
11	10	fdmd 6523	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
12	6, 11	eleqtrd 2915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
13	5, 12	sseldi 3965	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
14		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
15		dmeq 5772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
16		eqidd 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝐷 = 𝐷)
17	14, 15, 16	f1eq123d 6608	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
18	17	elrab3 3681	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
19	18	biimpa 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
20	13, 12, 19	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
21		f1f 6575	. . . . . 6 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → 𝑊:dom 𝑊⟶𝐷)
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊⟶𝐷)
23	22	frnd 6521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑊 ⊆ 𝐷)
24		cycpmco2.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑊)
25	23, 24	sseldd 3968	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
26	3	eldifbd 3949	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐼 ∈ ran 𝑊)
27		nelne2 3115	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ran 𝑊 ∧ ¬ 𝐼 ∈ ran 𝑊) → 𝐽 ≠ 𝐼)
28	24, 26, 27	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐼)
29	28	necomd 3071	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
30	1, 2, 4, 25, 29, 7	cyc2fv1 30763	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐼) = 𝐽)
31	30	fveq2d 6674	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊)‘((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐼)) = ((𝑀‘𝑊)‘𝐽))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  {crab 3142   ∖ cdif 3933  ⟨cotp 4575  ^◡ccnv 5554  dom cdm 5555  ran crn 5556  ⟶wf 6351  –1-1→wf1 6352  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  1c1 10538   + caddc 10540  Word cword 13862  ⟨“cs1 13949   splice csplice 14111  ⟨“cs2 14203  Basecbs 16483  SymGrpcsymg 18495  toCycctocyc 30748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-inf 8907  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-mod 13239  df-hash 13692  df-word 13863  df-concat 13923  df-s1 13950  df-substr 14003  df-pfx 14033  df-csh 14151  df-s2 14210  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-tset 16584  df-efmnd 18034  df-symg 18496  df-tocyc 30749

This theorem is referenced by:  cycpmco2lem4  30771