Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domtriom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domtriom 9209
 Description: Trichotomy of equinumerosity for ω, proven using CC. Equivalently, all Dedekind-finite sets (as in isfin4-2 9080) are finite in the usual sense and conversely. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
domtriom.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
domtriom (ω ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω)

Proof of Theorem domtriom
Dummy variables 𝑏 𝑛 𝑦 𝑗 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnsym 8030 . 2 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ ω)
2 isfinite 8493 . . 3 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
3 domtriom.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
4 eqid 2621 . . . 4 {𝑦 ∣ (𝑦𝐴𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)} = {𝑦 ∣ (𝑦𝐴𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)}
5 fveq2 6148 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → (𝑏𝑚) = (𝑏𝑛))
6 fveq2 6148 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (𝑏𝑗) = (𝑏𝑘))
76cbviunv 4525 . . . . . . 7 𝑗𝑚 (𝑏𝑗) = 𝑘𝑚 (𝑏𝑘)
8 iuneq1 4500 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 𝑘𝑚 (𝑏𝑘) = 𝑘𝑛 (𝑏𝑘))
97, 8syl5eq 2667 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 𝑗𝑚 (𝑏𝑗) = 𝑘𝑛 (𝑏𝑘))
105, 9difeq12d 3707 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑏𝑚) ∖ 𝑗𝑚 (𝑏𝑗)) = ((𝑏𝑛) ∖ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘)))
1110cbvmptv 4710 . . . 4 (𝑚 ∈ ω ↦ ((𝑏𝑚) ∖ 𝑗𝑚 (𝑏𝑗))) = (𝑛 ∈ ω ↦ ((𝑏𝑛) ∖ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘)))
123, 4, 11domtriomlem 9208 . . 3 𝐴 ∈ Fin → ω ≼ 𝐴)
132, 12sylnbir 321 . 2 𝐴 ≺ ω → ω ≼ 𝐴)
141, 13impbii 199 1 (ω ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∈ wcel 1987  {cab 2607  Vcvv 3186   ∖ cdif 3552   ⊆ wss 3555  𝒫 cpw 4130  ∪ ciun 4485   class class class wbr 4613   ↦ cmpt 4673  ‘cfv 5847  ωcom 7012   ≈ cen 7896   ≼ cdom 7897   ≺ csdm 7898  Fincfn 7899 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cc 9201 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-cda 8934 This theorem is referenced by:  fin41  9210  dominf  9211
 Copyright terms: Public domain W3C validator