Theorem dscopn 23185

Description: The discrete metric generates the discrete topology. In particular, the discrete topology is metrizable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
dscmet.1	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑥 = 𝑦, 0, 1))

Assertion

Ref	Expression
dscopn	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (MetOpen‘𝐷) = 𝒫 𝑋)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dscopn

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dscmet.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑥 = 𝑦, 0, 1))
2	1	dscmet 23184	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3		metxmet 22946	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
6	5	elmopn 23054	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ (𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑢 ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))))
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ (𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑢 ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))))
8		simpll 765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → 𝑋 ∈ 𝑉)
9		ssel2 3964	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → 𝑣 ∈ 𝑋)
10	9	adantll 712	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → 𝑣 ∈ 𝑋)
11	8, 10	jca 514	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋))
12		velsn 4585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑣} ↔ 𝑤 = 𝑣)
13		eleq1a 2910	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑋 → (𝑤 = 𝑣 → 𝑤 ∈ 𝑋))
14		simpl 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1) → 𝑤 ∈ 𝑋)
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑋 → ((𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1) → 𝑤 ∈ 𝑋))
16		eqeq12 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑤) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑣 = 𝑤))
17	16	ifbid 4491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑤) → if(𝑥 = 𝑦, 0, 1) = if(𝑣 = 𝑤, 0, 1))
18		0re 10645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℝ
19		1re 10643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℝ
20	18, 19	ifcli 4515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) ∈ ℝ
21	20	elexi 3515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) ∈ V
22	17, 1, 21	ovmpoa 7307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑣𝐷𝑤) = if(𝑣 = 𝑤, 0, 1))
23	22	breq1d 5078	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑣𝐷𝑤) < 1 ↔ if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1))
24	19	ltnri 10751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ¬ 1 < 1
25		iffalse 4478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ 𝑣 = 𝑤 → if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) = 1)
26	25	breq1d 5078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (¬ 𝑣 = 𝑤 → (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 ↔ 1 < 1))
27	24, 26	mtbiri 329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (¬ 𝑣 = 𝑤 → ¬ if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1)
28	27	con4i 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 → 𝑣 = 𝑤)
29		iftrue 4475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) = 0)
30		0lt1 11164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 < 1
31	29, 30	eqbrtrdi 5107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1)
32	28, 31	impbii 211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 ↔ 𝑣 = 𝑤)
33		equcom 2025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝑤 ↔ 𝑤 = 𝑣)
34	32, 33	bitri 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 ↔ 𝑤 = 𝑣)
35	23, 34	syl6rbb 290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑣𝐷𝑤) < 1))
36		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ 𝑋)
37	36	biantrurd 535	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑣𝐷𝑤) < 1 ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
38	35, 37	bitrd 281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
39	38	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑋 → (𝑤 ∈ 𝑋 → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1))))
40	13, 15, 39	pm5.21ndd 383	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑋 → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
41	40	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
42		1xr 10702	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ*
43		elbl 23000	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
44	42, 43	mp3an3 1446	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
45	4, 44	sylan 582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
46	41, 45	bitr4d 284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ 𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1)))
47	12, 46	syl5bb 285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑤 ∈ {𝑣} ↔ 𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1)))
48	47	eqrdv 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → {𝑣} = (𝑣(ball‘𝐷)1))
49		blelrn 23029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑣(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
50	42, 49	mp3an3 1446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑣(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
51	4, 50	sylan 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑣(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
52	48, 51	eqeltrd 2915	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → {𝑣} ∈ ran (ball‘𝐷))
53		snssi 4743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑢 → {𝑣} ⊆ 𝑢)
54		vsnid 4604	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑣 ∈ {𝑣}
55	53, 54	jctil 522	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑢 → (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} ⊆ 𝑢))
56		eleq2 2903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = {𝑣} → (𝑣 ∈ 𝑤 ↔ 𝑣 ∈ {𝑣}))
57		sseq1 3994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = {𝑣} → (𝑤 ⊆ 𝑢 ↔ {𝑣} ⊆ 𝑢))
58	56, 57	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = {𝑣} → ((𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢) ↔ (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} ⊆ 𝑢)))
59	58	rspcev 3625	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑣} ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} ⊆ 𝑢)) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))
60	52, 55, 59	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))
61	11, 60	sylancom 590	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))
62	61	ralrimiva 3184	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑋) → ∀𝑣 ∈ 𝑢 ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))
63	62	ex 415	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑢 ⊆ 𝑋 → ∀𝑣 ∈ 𝑢 ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢)))
64	63	pm4.71d 564	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑢 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑢 ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑢))))
65	7, 64	bitr4d 284	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ 𝑢 ⊆ 𝑋))
66		velpw 4546	. . 3 ⊢ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑢 ⊆ 𝑋)
67	65, 66	syl6bbr 291	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ 𝑢 ∈ 𝒫 𝑋))
68	67	eqrdv 2821	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (MetOpen‘𝐷) = 𝒫 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  ∃wrex 3141   ⊆ wss 3938  ifcif 4469  𝒫 cpw 4541  {csn 4569   class class class wbr 5068  ran crn 5558  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ∈ cmpo 7160  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540  ℝ^*cxr 10676   < clt 10677  ∞Metcxmet 20532  Metcmet 20533  ballcbl 20534  MetOpencmopn 20537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-topgen 16719  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-bases 21556

This theorem is referenced by: (None)