Theorem metxmet 22944

Description: A metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metxmet	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Proof of Theorem metxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismet2 22943	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
2	1	simplbi 500	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   × cxp 5553  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  ℝcr 10536  ∞Metcxmet 20530  Metcmet 20531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-mulcl 10599  ax-i2m1 10605

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-xadd 12509  df-xmet 20538  df-met 20539

This theorem is referenced by:  metdmdm  22946  meteq0  22949  mettri2  22951  met0  22953  metge0  22955  metsym  22960  metrtri  22967  metgt0  22969  metres2  22973  prdsmet  22980  imasf1omet  22986  blpnf  23007  bl2in  23010  isms2  23060  setsms  23090  tmsms  23097  metss2lem  23121  metss2  23122  methaus  23130  dscopn  23183  ngpocelbl  23313  cnxmet  23381  rexmet  23399  metdcn2  23447  metdsre  23461  metdscn2  23465  lebnumlem1  23565  lebnumlem2  23566  lebnumlem3  23567  lebnum  23568  xlebnum  23569  cmetcaulem  23891  cmetcau  23892  iscmet3lem1  23894  iscmet3lem2  23895  iscmet3  23896  equivcfil  23902  equivcau  23903  metsscmetcld  23918  cmetss  23919  relcmpcmet  23921  cmpcmet  23922  cncmet  23925  bcthlem2  23928  bcthlem3  23929  bcthlem4  23930  bcthlem5  23931  bcth2  23933  bcth3  23934  cmetcusp1  23956  cmetcusp  23957  minveclem3  24032  imsxmet  28469  blocni  28582  ubthlem1  28647  ubthlem2  28648  minvecolem4a  28654  hhxmet  28952  hilxmet  28972  fmcncfil  31174  blssp  35046  lmclim2  35048  geomcau  35049  caures  35050  caushft  35051  sstotbnd2  35067  equivtotbnd  35071  isbndx  35075  isbnd3  35077  ssbnd  35081  totbndbnd  35082  prdstotbnd  35087  prdsbnd2  35088  heibor1lem  35102  heibor1  35103  heiborlem3  35106  heiborlem6  35109  heiborlem8  35111  heiborlem9  35112  heiborlem10  35113  heibor  35114  bfplem1  35115  bfplem2  35116  rrncmslem  35125  ismrer1  35131  reheibor  35132  metpsmet  41377  qndenserrnbllem  42599  qndenserrnbl  42600  qndenserrnopnlem  42602  rrndsxmet  42608  hoiqssbllem2  42925  hoiqssbl  42927  opnvonmbllem2  42935