Theorem metxmet 22186

Description: A metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metxmet	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Proof of Theorem metxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismet2 22185	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
2	1	simplbi 475	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2030   × cxp 5141  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  ℝcr 9973  ∞Metcxmt 19779  Metcme 19780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-mulcl 10036  ax-i2m1 10042

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-xadd 11985  df-xmet 19787  df-met 19788

This theorem is referenced by:  metdmdm  22188  meteq0  22191  mettri2  22193  met0  22195  metge0  22197  metsym  22202  metrtri  22209  metgt0  22211  metres2  22215  prdsmet  22222  imasf1omet  22228  blpnf  22249  bl2in  22252  isms2  22302  setsms  22332  tmsms  22339  metss2lem  22363  metss2  22364  methaus  22372  dscopn  22425  ngpocelbl  22555  cnxmet  22623  rexmet  22641  metdcn2  22689  metdsre  22703  metdscn2  22707  lebnumlem1  22807  lebnumlem2  22808  lebnumlem3  22809  lebnum  22810  xlebnum  22811  cmetcaulem  23132  cmetcau  23133  iscmet3lem1  23135  iscmet3lem2  23136  iscmet3  23137  equivcfil  23143  equivcau  23144  cmetss  23159  relcmpcmet  23161  cmpcmet  23162  cncmet  23165  bcthlem2  23168  bcthlem3  23169  bcthlem4  23170  bcthlem5  23171  bcth2  23173  bcth3  23174  cmetcusp1  23195  cmetcusp  23196  minveclem3  23246  imsxmet  27675  blocni  27788  ubthlem1  27854  ubthlem2  27855  minvecolem4a  27861  hhxmet  28160  hilxmet  28180  fmcncfil  30105  blssp  33682  lmclim2  33684  geomcau  33685  caures  33686  caushft  33687  sstotbnd2  33703  equivtotbnd  33707  isbndx  33711  isbnd3  33713  ssbnd  33717  totbndbnd  33718  prdstotbnd  33723  prdsbnd2  33724  heibor1lem  33738  heibor1  33739  heiborlem3  33742  heiborlem6  33745  heiborlem8  33747  heiborlem9  33748  heiborlem10  33749  heibor  33750  bfplem1  33751  bfplem2  33752  rrncmslem  33761  ismrer1  33767  reheibor  33768  metpsmet  39582  qndenserrnbllem  40832  qndenserrnbl  40833  qndenserrnopnlem  40835  rrndsxmet  40841  hoiqssbllem2  41158  hoiqssbl  41160  opnvonmbllem2  41168