MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvds2sub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvds2sub 14940
Description: If an integer divides each of two other integers, it divides their difference. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvds2sub ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ∥ (𝑀𝑁)))

Proof of Theorem dvds2sub
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpa 1056 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
2 3simpb 1057 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3 zsubcl 11363 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
43anim2i 592 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁) ∈ ℤ))
543impb 1257 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁) ∈ ℤ))
6 zsubcl 11363 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥𝑦) ∈ ℤ)
76adantl 482 . 2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥𝑦) ∈ ℤ)
8 zcn 11326 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
9 zcn 11326 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
10 zcn 11326 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
11 subdir 10408 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑦) · 𝐾) = ((𝑥 · 𝐾) − (𝑦 · 𝐾)))
128, 9, 10, 11syl3an 1365 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑥𝑦) · 𝐾) = ((𝑥 · 𝐾) − (𝑦 · 𝐾)))
13123comr 1270 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥𝑦) · 𝐾) = ((𝑥 · 𝐾) − (𝑦 · 𝐾)))
14133expb 1263 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥𝑦) · 𝐾) = ((𝑥 · 𝐾) − (𝑦 · 𝐾)))
15 oveq12 6613 . . . . 5 (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → ((𝑥 · 𝐾) − (𝑦 · 𝐾)) = (𝑀𝑁))
1614, 15sylan9eq 2675 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁)) → ((𝑥𝑦) · 𝐾) = (𝑀𝑁))
1716ex 450 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → ((𝑥𝑦) · 𝐾) = (𝑀𝑁)))
18173ad2antl1 1221 . 2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → ((𝑥𝑦) · 𝐾) = (𝑀𝑁)))
191, 2, 5, 7, 18dvds2lem 14918 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ∥ (𝑀𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  cc 9878   · cmul 9885  cmin 10210  cz 11321  cdvds 14907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-dvds 14908
This theorem is referenced by:  dvds2subd  14941  dvdssub2  14947  divalglem9  15048  prmdiv  15414  prmdiveq  15415  difsqpwdvds  15515  4sqlem10  15575  4sqlem14  15586  poimirlem28  33069  jm2.20nn  37044  dvdsn1add  39460  goldbachthlem2  40757
  Copyright terms: Public domain W3C validator