MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zsubcl 11254
Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
zsubcl ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcl
StepHypRef Expression
1 zcn 11217 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2 zcn 11217 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3 negsub 10180 . . 3 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀𝑁))
41, 2, 3syl2an 492 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀𝑁))
5 znegcl 11247 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
6 zaddcl 11252 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
75, 6sylan2 489 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
84, 7eqeltrrd 2688 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  (class class class)co 6526  cc 9790   + caddc 9795  cmin 10117  -cneg 10118  cz 11212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-n0 11142  df-z 11213
This theorem is referenced by:  peano2zm  11255  zrevaddcl  11257  znnsub  11258  znn0sub  11259  nzadd  11260  zneo  11294  zsubcld  11321  eluzsubi  11549  fzen  12186  uzsubsubfz  12191  fzrev  12230  fzrev2  12231  fzrevral2  12252  fzshftral  12254  fz0fzdiffz0  12274  difelfzle  12278  difelfznle  12279  fzo0n  12316  fzonfzoufzol  12394  elfzomelpfzo  12395  zmodcl  12509  addmodlteq  12564  fzen2  12587  facndiv  12894  bccmpl  12915  bcval5  12924  bcpasc  12927  hashfz  13028  ccatsymb  13167  swrdspsleq  13249  swrdccatin12lem1  13283  swrdccatin12lem2a  13284  swrdccatin12lem2b  13285  swrdccatin12lem2  13288  swrdccat  13292  repswswrd  13330  cshwsublen  13341  cshwidxmodr  13349  2cshwid  13359  3cshw  13363  cshweqdif2  13364  2cshwcshw  13370  cshwcshid  13372  seqshft  13621  isercoll2  14195  zfallfaccl  14539  binomrisefac  14560  bpolydiflem  14572  moddvds  14777  modmulconst  14799  dvds2sub  14802  dvdssub2  14809  dvdssubr  14813  fzocongeq  14832  3dvds  14838  3dvdsOLD  14839  odd2np1  14851  omoe  14874  omeo  14876  divalglem0  14902  divalglem4  14905  divalglem9  14910  divalgb  14913  divalgmod  14915  divalgmodOLD  14916  ndvdsadd  14920  nn0seqcvgd  15069  congr  15164  cncongr1  15167  cncongr2  15168  eulerthlem2  15273  prmdiv  15276  prmdiveq  15277  pythagtriplem4  15310  pythagtriplem8  15314  difsqpwdvds  15377  prmgaplem7  15547  mod2xnegi  15561  cshwshashlem2  15589  mndodcongi  17733  odcong  17739  odf1  17750  odf1o1  17758  efgredleme  17927  srgbinomlem4  18314  plyeq0lem  23714  aaliou3lem1  23845  aaliou3lem2  23846  efif1olem2  24037  wilthlem2  24539  basellem2  24552  dchrptlem1  24733  bposlem6  24758  gausslemma2dlem6  24841  lgsquadlem1  24849  clwlkisclwwlklem2fv2  26104  ballotlemfelz  29672  fwddifnp1  31235  knoppndvlem2  31467  poimirlem28  32390  irrapxlem1  36187  jm2.24nn  36327  congtr  36333  congadd  36334  congmul  36335  congabseq  36342  acongeq  36351  jm2.26a  36368  jm2.15nn0  36371  jm2.27c  36375  jm3.1  36388  pfxccatin12lem1  40070  pfxccatin12lem2  40071  2elfz2melfz  40161  elfzlble  40163  elfzelfzlble  40164  subsubelfzo0  40165  crctcsh1wlkn0lem7  41000  crctcsh1wlkn0  41005  clwlkclwwlklem2fv2  41186  altgsumbc  41904  altgsumbcALT  41905  zlmodzxzsub  41912
  Copyright terms: Public domain W3C validator