Theorem dvdszzq 30531

Description: Divisibility for an integer quotient. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdszzq.1	⊢ 𝑁 = (𝐴 / 𝐵)
dvdszzq.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
dvdszzq.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
dvdszzq.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
dvdszzq.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
dvdszzq.6	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝐴)
dvdszzq.7	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dvdszzq	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem dvdszzq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdszzq.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2		dvdszzq.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		dvdszzq.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
4		dvdszzq.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝐴)
5		dvdszzq.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝐴 / 𝐵)
6	2	zcnd 12082	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
7	3	zcnd 12082	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
8		dvdszrcl 15607	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∥ 𝐴 → (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
9	8	simprd 498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∥ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℤ)
10	4, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 12082	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
12		dvdszzq.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
13	6, 7, 11, 12	ldiv 11467	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 𝐵) = 𝐴 ↔ 𝑁 = (𝐴 / 𝐵)))
14	5, 13	mpbiri 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝐵) = 𝐴)
15	4, 14	breqtrrd 5087	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑁 · 𝐵))
16		euclemma 16052	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑁 · 𝐵) ↔ (𝑃 ∥ 𝑁 ∨ 𝑃 ∥ 𝐵)))
17	16	biimpa 479	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝑁 · 𝐵)) → (𝑃 ∥ 𝑁 ∨ 𝑃 ∥ 𝐵))
18	1, 2, 3, 15, 17	syl31anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 𝑁 ∨ 𝑃 ∥ 𝐵))
19		dvdszzq.7	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 𝐵)
20		orcom 866	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝑁 ∨ 𝑃 ∥ 𝐵) ↔ (𝑃 ∥ 𝐵 ∨ 𝑃 ∥ 𝑁))
21		df-or 844	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝐵 ∨ 𝑃 ∥ 𝑁) ↔ (¬ 𝑃 ∥ 𝐵 → 𝑃 ∥ 𝑁))
22	20, 21	sylbb 221	. 2 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝑁 ∨ 𝑃 ∥ 𝐵) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐵 → 𝑃 ∥ 𝑁))
23	18, 19, 22	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 843   ∧ w3a 1082   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3015   class class class wbr 5059  (class class class)co 7149  0cc0 10530   · cmul 10535   / cdiv 11290  ℤcz 11975   ∥ cdvds 15602  ℙcprime 16010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-2nd 7683  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-2o 8096  df-er 8282  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-fin 8506  df-sup 8899  df-inf 8900  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11632  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fl 13159  df-mod 13235  df-seq 13367  df-exp 13427  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-dvds 15603  df-gcd 15839  df-prm 16011

This theorem is referenced by:  prmdvdsbc  30532