MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  euclemma Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem euclemma 15406
Description: Euclid's lemma. A prime number divides the product of two integers iff it divides at least one of them. Theorem 1.9 in [ApostolNT] p. 17. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
euclemma ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ (𝑃𝑀𝑃𝑁)))

Proof of Theorem euclemma
StepHypRef Expression
1 coprm 15404 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑀 ↔ (𝑃 gcd 𝑀) = 1))
213adant3 1079 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑀 ↔ (𝑃 gcd 𝑀) = 1))
32anbi2d 739 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ ¬ 𝑃𝑀) ↔ (𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ (𝑃 gcd 𝑀) = 1)))
4 prmz 15370 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
5 coprmdvds 15347 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ (𝑃 gcd 𝑀) = 1) → 𝑃𝑁))
64, 5syl3an1 1357 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ (𝑃 gcd 𝑀) = 1) → 𝑃𝑁))
73, 6sylbid 230 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ ¬ 𝑃𝑀) → 𝑃𝑁))
87expd 452 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑁) → (¬ 𝑃𝑀𝑃𝑁)))
9 df-or 385 . . 3 ((𝑃𝑀𝑃𝑁) ↔ (¬ 𝑃𝑀𝑃𝑁))
108, 9syl6ibr 242 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑁) → (𝑃𝑀𝑃𝑁)))
11 ordvdsmul 15003 . . 3 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃𝑀𝑃𝑁) → 𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑁)))
124, 11syl3an1 1357 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃𝑀𝑃𝑁) → 𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑁)))
1310, 12impbid 202 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ (𝑃𝑀𝑃𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988   class class class wbr 4644  (class class class)co 6635  1c1 9922   · cmul 9926  cz 11362  cdvds 14964   gcd cgcd 15197  cprime 15366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-inf 8334  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-fl 12576  df-mod 12652  df-seq 12785  df-exp 12844  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-dvds 14965  df-gcd 15198  df-prm 15367
This theorem is referenced by:  isprm6  15407  prmdvdsexp  15408  prmfac1  15412  pcpremul  15529  4sqlem11  15640  ablfac1eulem  18452  znfld  19890  wilthlem1  24775  mumul  24888  lgslem1  25003  lgsdir2  25036  lgsqrlem2  25053  2sqlem4  25127  2sqlem6  25129  2sqmod  29622  pdivsq  31610  etransclem44  40258  lighneallem3  41289  lighneallem4  41292
  Copyright terms: Public domain W3C validator