Theorem euclemma 16057

Description: Euclid's lemma. A prime number divides the product of two integers iff it divides at least one of them. Theorem 1.9 in [ApostolNT] p. 17. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
euclemma	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ (𝑃 ∥ 𝑀 ∨ 𝑃 ∥ 𝑁)))

Proof of Theorem euclemma

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coprm 16055	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑀 ↔ (𝑃 gcd 𝑀) = 1))
2	1	3adant3 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑀 ↔ (𝑃 gcd 𝑀) = 1))
3	2	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑀) ↔ (𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ (𝑃 gcd 𝑀) = 1)))
4		prmz 16019	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
5		coprmdvds 15997	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ (𝑃 gcd 𝑀) = 1) → 𝑃 ∥ 𝑁))
6	4, 5	syl3an1 1159	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ (𝑃 gcd 𝑀) = 1) → 𝑃 ∥ 𝑁))
7	3, 6	sylbid 242	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑀) → 𝑃 ∥ 𝑁))
8	7	expd 418	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑁) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑀 → 𝑃 ∥ 𝑁)))
9		df-or 844	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝑀 ∨ 𝑃 ∥ 𝑁) ↔ (¬ 𝑃 ∥ 𝑀 → 𝑃 ∥ 𝑁))
10	8, 9	syl6ibr 254	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑁) → (𝑃 ∥ 𝑀 ∨ 𝑃 ∥ 𝑁)))
11		ordvdsmul 15650	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ 𝑀 ∨ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑁)))
12	4, 11	syl3an1 1159	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ 𝑀 ∨ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑁)))
13	10, 12	impbid 214	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ (𝑃 ∥ 𝑀 ∨ 𝑃 ∥ 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  1c1 10538   · cmul 10542  ℤcz 11982   ∥ cdvds 15607   gcd cgcd 15843  ℙcprime 16015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fl 13163  df-mod 13239  df-seq 13371  df-exp 13431  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-dvds 15608  df-gcd 15844  df-prm 16016

This theorem is referenced by:  isprm6  16058  prmdvdsexp  16059  prmfac1  16063  pcpremul  16180  4sqlem11  16291  ablfac1eulem  19194  znfld  20707  wilthlem1  25645  mumul  25758  lgslem1  25873  lgsdir2  25906  lgsqrlem2  25923  2sqlem4  25997  2sqlem6  25999  2sqmod  26012  dvdszzq  30531  prmdvdsbc  30532  pdivsq  32981  etransclem44  42612  lighneallem3  43821  lighneallem4  43824