Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhopvsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvhopvsca 36885
 Description: Scalar product operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 20-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhfvsca.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhfvsca.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvhfvsca.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvhfvsca.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhfvsca.s · = ( ·𝑠𝑈)
Assertion
Ref Expression
dvhopvsca (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝐹𝑇𝑋𝐸)) → (𝑅 ·𝐹, 𝑋⟩) = ⟨(𝑅𝐹), (𝑅𝑋)⟩)

Proof of Theorem dvhopvsca
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . 3 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝐹𝑇𝑋𝐸)) → (𝐾𝑉𝑊𝐻))
2 simpr1 1231 . . 3 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝐹𝑇𝑋𝐸)) → 𝑅𝐸)
3 simpr2 1233 . . . 4 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝐹𝑇𝑋𝐸)) → 𝐹𝑇)
4 simpr3 1235 . . . 4 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝐹𝑇𝑋𝐸)) → 𝑋𝐸)
5 opelxpi 5297 . . . 4 ((𝐹𝑇𝑋𝐸) → ⟨𝐹, 𝑋⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
63, 4, 5syl2anc 696 . . 3 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝐹𝑇𝑋𝐸)) → ⟨𝐹, 𝑋⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
7 dvhfvsca.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 dvhfvsca.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9 dvhfvsca.e . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
10 dvhfvsca.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
11 dvhfvsca.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑈)
127, 8, 9, 10, 11dvhvsca 36884 . . 3 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸 ∧ ⟨𝐹, 𝑋⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝑅 ·𝐹, 𝑋⟩) = ⟨(𝑅‘(1st ‘⟨𝐹, 𝑋⟩)), (𝑅 ∘ (2nd ‘⟨𝐹, 𝑋⟩))⟩)
131, 2, 6, 12syl12anc 1471 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝐹𝑇𝑋𝐸)) → (𝑅 ·𝐹, 𝑋⟩) = ⟨(𝑅‘(1st ‘⟨𝐹, 𝑋⟩)), (𝑅 ∘ (2nd ‘⟨𝐹, 𝑋⟩))⟩)
14 op1stg 7337 . . . . 5 ((𝐹𝑇𝑋𝐸) → (1st ‘⟨𝐹, 𝑋⟩) = 𝐹)
153, 4, 14syl2anc 696 . . . 4 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝐹𝑇𝑋𝐸)) → (1st ‘⟨𝐹, 𝑋⟩) = 𝐹)
1615fveq2d 6348 . . 3 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝐹𝑇𝑋𝐸)) → (𝑅‘(1st ‘⟨𝐹, 𝑋⟩)) = (𝑅𝐹))
17 op2ndg 7338 . . . . 5 ((𝐹𝑇𝑋𝐸) → (2nd ‘⟨𝐹, 𝑋⟩) = 𝑋)
183, 4, 17syl2anc 696 . . . 4 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝐹𝑇𝑋𝐸)) → (2nd ‘⟨𝐹, 𝑋⟩) = 𝑋)
1918coeq2d 5432 . . 3 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝐹𝑇𝑋𝐸)) → (𝑅 ∘ (2nd ‘⟨𝐹, 𝑋⟩)) = (𝑅𝑋))
2016, 19opeq12d 4553 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝐹𝑇𝑋𝐸)) → ⟨(𝑅‘(1st ‘⟨𝐹, 𝑋⟩)), (𝑅 ∘ (2nd ‘⟨𝐹, 𝑋⟩))⟩ = ⟨(𝑅𝐹), (𝑅𝑋)⟩)
2113, 20eqtrd 2786 1 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝐹𝑇𝑋𝐸)) → (𝑅 ·𝐹, 𝑋⟩) = ⟨(𝑅𝐹), (𝑅𝑋)⟩)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  ⟨cop 4319   × cxp 5256   ∘ ccom 5262  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805  1st c1st 7323  2nd c2nd 7324   ·𝑠 cvsca 16139  LHypclh 35765  LTrncltrn 35882  TEndoctendo 36534  DVecHcdvh 36861 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-fz 12512  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-plusg 16148  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-dvech 36862 This theorem is referenced by:  dvhlveclem  36891  dib1dim2  36951  diclspsn  36977  dih1dimatlem  37112
 Copyright terms: Public domain W3C validator