MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en2sn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en2sn 8153
Description: Two singletons are equinumerous. (Contributed by NM, 9-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
en2sn ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → {𝐴} ≈ {𝐵})

Proof of Theorem en2sn
StepHypRef Expression
1 ensn1g 8137 . 2 (𝐴𝐶 → {𝐴} ≈ 1𝑜)
2 ensn1g 8137 . . 3 (𝐵𝐷 → {𝐵} ≈ 1𝑜)
32ensymd 8123 . 2 (𝐵𝐷 → 1𝑜 ≈ {𝐵})
4 entr 8124 . 2 (({𝐴} ≈ 1𝑜 ∧ 1𝑜 ≈ {𝐵}) → {𝐴} ≈ {𝐵})
51, 3, 4syl2an 495 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → {𝐴} ≈ {𝐵})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2103  {csn 4285   class class class wbr 4760  1𝑜c1o 7673  cen 8069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ral 3019  df-rex 3020  df-rab 3023  df-v 3306  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-br 4761  df-opab 4821  df-id 5128  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-suc 5842  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-1o 7680  df-er 7862  df-en 8073
This theorem is referenced by:  difsnen  8158  domunsncan  8176  domunsn  8226  limensuci  8252  infensuc  8254  sucdom2  8272  dif1en  8309  dif1card  8946  fin23lem26  9260  unsnen  9488  canthp1lem1  9587  fzennn  12882  hashsng  13272  mreexexlem4d  16430
  Copyright terms: Public domain W3C validator