Theorem expnngt1b 13601

Description: An integer power with an integer base greater than 1 is greater than 1 iff the exponent is positive. (Contributed by AV, 28-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
expnngt1b	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (1 < (𝐴↑𝐵) ↔ 𝐵 ∈ ℕ))

Proof of Theorem expnngt1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 12282	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℕ)
3	2	adantr 483	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 1 < (𝐴↑𝐵)) → 𝐴 ∈ ℕ)
4		simplr 767	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 1 < (𝐴↑𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
5		simpr 487	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 1 < (𝐴↑𝐵)) → 1 < (𝐴↑𝐵))
6		expnngt1 13600	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴↑𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1366	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 1 < (𝐴↑𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)
8	2	nnred 11650	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 483	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		simpr 487	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
11		eluz2gt1 12318	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐴)
12	11	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 1 < 𝐴)
13	12	adantr 483	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 < 𝐴)
14		expgt1 13465	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < (𝐴↑𝐵))
15	9, 10, 13, 14	syl3anc 1366	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 < (𝐴↑𝐵))
16	7, 15	impbida 799	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (1 < (𝐴↑𝐵) ↔ 𝐵 ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5063  ‘cfv 6352  (class class class)co 7153  ℝcr 10533  1c1 10535   < clt 10672  ℕcn 11635  2c2 11690  ℤcz 11979  ℤ_≥cuz 12241  ↑cexp 13427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7458  ax-cnex 10590  ax-resscn 10591  ax-1cn 10592  ax-icn 10593  ax-addcl 10594  ax-addrcl 10595  ax-mulcl 10596  ax-mulrcl 10597  ax-mulcom 10598  ax-addass 10599  ax-mulass 10600  ax-distr 10601  ax-i2m1 10602  ax-1ne0 10603  ax-1rid 10604  ax-rnegex 10605  ax-rrecex 10606  ax-cnre 10607  ax-pre-lttri 10608  ax-pre-lttrn 10609  ax-pre-ltadd 10610  ax-pre-mulgt0 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4465  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4836  df-iun 4918  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5457  df-eprel 5462  df-po 5471  df-so 5472  df-fr 5511  df-we 5513  df-xp 5558  df-rel 5559  df-cnv 5560  df-co 5561  df-dm 5562  df-rn 5563  df-res 5564  df-ima 5565  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7111  df-ov 7156  df-oprab 7157  df-mpo 7158  df-om 7578  df-2nd 7687  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-pnf 10674  df-mnf 10675  df-xr 10676  df-ltxr 10677  df-le 10678  df-sub 10869  df-neg 10870  df-div 11295  df-nn 11636  df-2 11698  df-n0 11896  df-z 11980  df-uz 12242  df-rp 12388  df-seq 13368  df-exp 13428

This theorem is referenced by: (None)