Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege110 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege110 37081
Description: Proposition 110 of [Frege1879] p. 75. (Contributed by RP, 7-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege110.x 𝑋𝐴
frege110.y 𝑌𝐵
frege110.m 𝑀𝐶
frege110.r 𝑅𝐷
Assertion
Ref Expression
frege110 (∀𝑎(𝑌𝑅𝑎𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀))
Distinct variable groups:   𝑅,𝑎   𝑋,𝑎   𝑌,𝑎
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑀(𝑎)

Proof of Theorem frege110
StepHypRef Expression
1 frege110.x . . 3 𝑋𝐴
2 frege110.r . . 3 𝑅𝐷
31, 2frege109 37080 . 2 𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})
4 frege110.y . . . 4 𝑌𝐵
5 frege110.m . . . 4 𝑀𝐶
6 imaundir 5451 . . . . 5 (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) = (((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∪ ( I “ {𝑋}))
7 fvex 6098 . . . . . . 7 (t+‘𝑅) ∈ V
8 imaexg 6973 . . . . . . 7 ((t+‘𝑅) ∈ V → ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∈ V)
97, 8ax-mp 5 . . . . . 6 ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∈ V
10 imai 5384 . . . . . . 7 ( I “ {𝑋}) = {𝑋}
11 snex 4830 . . . . . . 7 {𝑋} ∈ V
1210, 11eqeltri 2684 . . . . . 6 ( I “ {𝑋}) ∈ V
139, 12unex 6832 . . . . 5 (((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∪ ( I “ {𝑋})) ∈ V
146, 13eqeltri 2684 . . . 4 (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ∈ V
154, 5, 2, 14frege78 37049 . . 3 (𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) → (∀𝑎(𝑌𝑅𝑎𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑀 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}))))
161elexi 3186 . . . . . . 7 𝑋 ∈ V
17 vex 3176 . . . . . . 7 𝑎 ∈ V
1816, 17elimasn 5396 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑎⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
19 df-br 4579 . . . . . 6 (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎 ↔ ⟨𝑋, 𝑎⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
2018, 19bitr4i 266 . . . . 5 (𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎)
2120imbi2i 325 . . . 4 ((𝑌𝑅𝑎𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})) ↔ (𝑌𝑅𝑎𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎))
2221albii 1737 . . 3 (∀𝑎(𝑌𝑅𝑎𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})) ↔ ∀𝑎(𝑌𝑅𝑎𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎))
235elexi 3186 . . . . . 6 𝑀 ∈ V
2416, 23elimasn 5396 . . . . 5 (𝑀 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
25 df-br 4579 . . . . 5 (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀 ↔ ⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
2624, 25bitr4i 266 . . . 4 (𝑀 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀)
2726imbi2i 325 . . 3 ((𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑀 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})) ↔ (𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀))
2815, 22, 273imtr3g 283 . 2 (𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) → (∀𝑎(𝑌𝑅𝑎𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀)))
293, 28ax-mp 5 1 (∀𝑎(𝑌𝑅𝑎𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wal 1473  wcel 1977  Vcvv 3173  cun 3538  {csn 4125  cop 4131   class class class wbr 4578   I cid 4938  cima 5031  cfv 5790  t+ctcl 13521   hereditary whe 36880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-frege1 36898  ax-frege2 36899  ax-frege8 36917  ax-frege28 36938  ax-frege31 36942  ax-frege41 36953  ax-frege52a 36965  ax-frege52c 36996  ax-frege58b 37009
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-seq 12622  df-trcl 13523  df-relexp 13558  df-he 36881
This theorem is referenced by:  frege124  37095
  Copyright terms: Public domain W3C validator