Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege77d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege77d 36954
 Description: If the images of both {𝐴} and 𝑈 are subsets of 𝑈 and 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝑅, then 𝐵 is an element of 𝑈. Similar to Proposition 77 of [Frege1879] p. 62. Compare with frege77 37151. (Contributed by RP, 15-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frege77d.r (𝜑𝑅 ∈ V)
frege77d.a (𝜑𝐴 ∈ V)
frege77d.b (𝜑𝐵 ∈ V)
frege77d.ab (𝜑𝐴(t+‘𝑅)𝐵)
frege77d.he (𝜑 → (𝑅𝑈) ⊆ 𝑈)
frege77d.ss (𝜑 → (𝑅 “ {𝐴}) ⊆ 𝑈)
Assertion
Ref Expression
frege77d (𝜑𝐵𝑈)

Proof of Theorem frege77d
StepHypRef Expression
1 frege77d.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ V)
2 imaundi 5354 . . . 4 (𝑅 “ ({𝐴} ∪ 𝑈)) = ((𝑅 “ {𝐴}) ∪ (𝑅𝑈))
3 frege77d.ss . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 “ {𝐴}) ⊆ 𝑈)
4 frege77d.he . . . . 5 (𝜑 → (𝑅𝑈) ⊆ 𝑈)
53, 4unssd 3655 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅 “ {𝐴}) ∪ (𝑅𝑈)) ⊆ 𝑈)
62, 5syl5eqss 3516 . . 3 (𝜑 → (𝑅 “ ({𝐴} ∪ 𝑈)) ⊆ 𝑈)
7 trclimalb2 36934 . . 3 ((𝑅 ∈ V ∧ (𝑅 “ ({𝐴} ∪ 𝑈)) ⊆ 𝑈) → ((t+‘𝑅) “ {𝐴}) ⊆ 𝑈)
81, 6, 7syl2anc 690 . 2 (𝜑 → ((t+‘𝑅) “ {𝐴}) ⊆ 𝑈)
9 frege77d.ab . . . 4 (𝜑𝐴(t+‘𝑅)𝐵)
10 df-br 4482 . . . 4 (𝐴(t+‘𝑅)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (t+‘𝑅))
119, 10sylib 206 . . 3 (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (t+‘𝑅))
12 frege77d.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
13 frege77d.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ V)
14 elimasng 5301 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐵 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (t+‘𝑅)))
1512, 13, 14syl2anc 690 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (t+‘𝑅)))
1611, 15mpbird 245 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝐴}))
178, 16sseldd 3473 1 (𝜑𝐵𝑈)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 194   ∈ wcel 1938  Vcvv 3077   ∪ cun 3442   ⊆ wss 3444  {csn 4028  ⟨cop 4034   class class class wbr 4481   “ cima 4935  ‘cfv 5689  t+ctcl 13429 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6722  ax-cnex 9746  ax-resscn 9747  ax-1cn 9748  ax-icn 9749  ax-addcl 9750  ax-addrcl 9751  ax-mulcl 9752  ax-mulrcl 9753  ax-mulcom 9754  ax-addass 9755  ax-mulass 9756  ax-distr 9757  ax-i2m1 9758  ax-1ne0 9759  ax-1rid 9760  ax-rnegex 9761  ax-rrecex 9762  ax-cnre 9763  ax-pre-lttri 9764  ax-pre-lttrn 9765  ax-pre-ltadd 9766  ax-pre-mulgt0 9767 This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-om 6833  df-2nd 6934  df-wrecs 7168  df-recs 7230  df-rdg 7268  df-er 7504  df-en 7717  df-dom 7718  df-sdom 7719  df-pnf 9830  df-mnf 9831  df-xr 9832  df-ltxr 9833  df-le 9834  df-sub 10018  df-neg 10019  df-nn 10775  df-2 10833  df-n0 11047  df-z 11118  df-uz 11427  df-seq 12531  df-trcl 13431  df-relexp 13466 This theorem is referenced by:  frege81d  36955  frege87d  36958
 Copyright terms: Public domain W3C validator