MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrwopreg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrwopreg2 27161
Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If ... B is a singleton, then that singleton is a universal friend". (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-May-2021.) (Proof shortened by AV, 3-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrwopreg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b 𝐵 = (𝑉𝐴)
frgrwopreg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrwopreg2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (#‘𝐵) = 1) → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑣,𝐴,𝑤,𝑥   𝑤,𝐵   𝑣,𝐺,𝑤   𝑣,𝑉,𝑤   𝑣,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤,𝑣)   𝐸(𝑤,𝑣)   𝐾(𝑤,𝑣)

Proof of Theorem frgrwopreg2
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgrwopreg.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 frgrwopreg.d . . . . . 6 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
3 frgrwopreg.a . . . . . 6 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
4 frgrwopreg.b . . . . . 6 𝐵 = (𝑉𝐴)
51, 2, 3, 4frgrwopreglem1 27154 . . . . 5 (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
65simpri 478 . . . 4 𝐵 ∈ V
7 hash1snb 13190 . . . 4 (𝐵 ∈ V → ((#‘𝐵) = 1 ↔ ∃𝑣 𝐵 = {𝑣}))
86, 7ax-mp 5 . . 3 ((#‘𝐵) = 1 ↔ ∃𝑣 𝐵 = {𝑣})
9 exsnrex 4212 . . . . 5 (∃𝑣 𝐵 = {𝑣} ↔ ∃𝑣𝐵 𝐵 = {𝑣})
10 difss 3729 . . . . . . . 8 (𝑉𝐴) ⊆ 𝑉
114, 10eqsstri 3627 . . . . . . 7 𝐵𝑉
12 ssrexv 3659 . . . . . . 7 (𝐵𝑉 → (∃𝑣𝐵 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣𝑉 𝐵 = {𝑣}))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6 (∃𝑣𝐵 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣𝑉 𝐵 = {𝑣})
14 frgrwopreg.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (Edg‘𝐺)
151, 2, 3, 4, 14frgrwopreglem4 27157 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑤𝐴𝑢𝐵 {𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸)
16 ralcom 3093 . . . . . . . . 9 (∀𝑤𝐴𝑢𝐵 {𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑢𝐵𝑤𝐴 {𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸)
17 vsnid 4200 . . . . . . . . . . . 12 𝑣 ∈ {𝑣}
18 eleq2 2688 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = {𝑣} → (𝑣𝐵𝑣 ∈ {𝑣}))
1917, 18mpbiri 248 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = {𝑣} → 𝑣𝐵)
20 preq2 4260 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑣 → {𝑤, 𝑢} = {𝑤, 𝑣})
2120eleq1d 2684 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑣 → ({𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸 ↔ {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸))
2221ralbidv 2983 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑣 → (∀𝑤𝐴 {𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑤𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸))
2322rspcv 3300 . . . . . . . . . . 11 (𝑣𝐵 → (∀𝑢𝐵𝑤𝐴 {𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸 → ∀𝑤𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸))
2419, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = {𝑣} → (∀𝑢𝐵𝑤𝐴 {𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸 → ∀𝑤𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸))
253ssrab3 3680 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴𝑉
26 ssdifim 3854 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑉𝐵 = (𝑉𝐴)) → 𝐴 = (𝑉𝐵))
2725, 4, 26mp2an 707 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (𝑉𝐵)
28 difeq2 3714 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = {𝑣} → (𝑉𝐵) = (𝑉 ∖ {𝑣}))
2927, 28syl5eq 2666 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = {𝑣} → 𝐴 = (𝑉 ∖ {𝑣}))
30 prcom 4258 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑤, 𝑣} = {𝑣, 𝑤}
3130eleq1i 2690 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
3231a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = {𝑣} → ({𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
3329, 32raleqbidv 3147 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = {𝑣} → (∀𝑤𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
3424, 33sylibd 229 . . . . . . . . 9 (𝐵 = {𝑣} → (∀𝑢𝐵𝑤𝐴 {𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
3516, 34syl5bi 232 . . . . . . . 8 (𝐵 = {𝑣} → (∀𝑤𝐴𝑢𝐵 {𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
3615, 35syl5com 31 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝐵 = {𝑣} → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
3736reximdv 3013 . . . . . 6 (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑣𝑉 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
3813, 37syl5com 31 . . . . 5 (∃𝑣𝐵 𝐵 = {𝑣} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
399, 38sylbi 207 . . . 4 (∃𝑣 𝐵 = {𝑣} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
4039com12 32 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑣 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
418, 40syl5bi 232 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph → ((#‘𝐵) = 1 → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
4241imp 445 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (#‘𝐵) = 1) → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wex 1702  wcel 1988  wral 2909  wrex 2910  {crab 2913  Vcvv 3195  cdif 3564  wss 3567  {csn 4168  {cpr 4170  cfv 5876  1c1 9922  #chash 13100  Vtxcvtx 25855  Edgcedg 25920  VtxDegcvtxdg 26342   FriendGraph cfrgr 27100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-n0 11278  df-xnn0 11349  df-z 11363  df-uz 11673  df-xadd 11932  df-fz 12312  df-hash 13101  df-edg 25921  df-uhgr 25934  df-ushgr 25935  df-upgr 25958  df-umgr 25959  df-uspgr 26026  df-usgr 26027  df-nbgr 26209  df-vtxdg 26343  df-frgr 27101
This theorem is referenced by:  frgrregorufr0  27162
  Copyright terms: Public domain W3C validator