Theorem frgrwopreg1 28081

Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If A ... is a singleton, then that singleton is a universal friend". (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 4-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrwopreg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b	⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
frgrwopreg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrwopreg1	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (♯‘𝐴) = 1) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝑥,𝐵   𝑣,𝐴,𝑤   𝑣,𝐵,𝑤   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺,𝑤,𝑥   𝑤,𝑉,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤,𝑣)   𝐸(𝑥,𝑤)   𝐾(𝑤,𝑣)

Proof of Theorem frgrwopreg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrwopreg.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
2		frgrwopreg.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	fvexi 6670	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
4	1, 3	rabex2 5223	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
5		hash1snb 13770	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ ∃𝑣 𝐴 = {𝑣}))
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) = 1 ↔ ∃𝑣 𝐴 = {𝑣})
7		exsnrex 4604	. . . . 5 ⊢ (∃𝑣 𝐴 = {𝑣} ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝐴 = {𝑣})
8	1	ssrab3 4045	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝑉
9		ssrexv 4022	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑉 → (∃𝑣 ∈ 𝐴 𝐴 = {𝑣} → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝐴 = {𝑣}))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐴 𝐴 = {𝑣} → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝐴 = {𝑣})
11		frgrwopreg.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
12		frgrwopreg.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
13		frgrwopreg.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
14	2, 11, 1, 12, 13	frgrwopregasn 28079	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = {𝑣}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
15	14	3expia 1117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐴 = {𝑣} → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
16	15	reximdva 3274	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑣 ∈ 𝑉 𝐴 = {𝑣} → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
17	10, 16	syl5com 31	. . . . 5 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐴 𝐴 = {𝑣} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
18	7, 17	sylbi 219	. . . 4 ⊢ (∃𝑣 𝐴 = {𝑣} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
19	18	com12 32	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑣 𝐴 = {𝑣} → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
20	6, 19	syl5bi 244	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ((♯‘𝐴) = 1 → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
21	20	imp 409	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (♯‘𝐴) = 1) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  {crab 3142  Vcvv 3486   ∖ cdif 3921   ⊆ wss 3924  {csn 4553  {cpr 4555  ‘cfv 6341  1c1 10524  ♯chash 13680  Vtxcvtx 26767  Edgcedg 26818  VtxDegcvtxdg 27233   FriendGraph cfrgr 28021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7567  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-dju 9316  df-card 9354  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-nn 11625  df-2 11687  df-n0 11885  df-xnn0 11955  df-z 11969  df-uz 12231  df-xadd 12495  df-fz 12883  df-hash 13681  df-edg 26819  df-uhgr 26829  df-ushgr 26830  df-upgr 26853  df-umgr 26854  df-uspgr 26921  df-usgr 26922  df-nbgr 27101  df-vtxdg 27234  df-frgr 28022

This theorem is referenced by:  frgrregorufr0  28087