Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrwopreg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrwopreg1 27045
 Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If A ... is a singleton, then that singleton is a universal friend". (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrwopreg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b 𝐵 = (𝑉𝐴)
frgrwopreg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrwopreg1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (#‘𝐴) = 1) → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑣,𝐴,𝑤,𝑥   𝑤,𝐵   𝑣,𝐺,𝑤   𝑣,𝑉,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣)   𝐷(𝑤,𝑣)   𝐸(𝑤,𝑣)   𝐾(𝑤,𝑣)

Proof of Theorem frgrwopreg1
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgrwopreg.a . . . . 5 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
2 frgrwopreg.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 fvex 6158 . . . . . 6 (Vtx‘𝐺) ∈ V
42, 3eqeltri 2694 . . . . 5 𝑉 ∈ V
51, 4rabex2 4775 . . . 4 𝐴 ∈ V
6 hash1snb 13147 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ((#‘𝐴) = 1 ↔ ∃𝑣 𝐴 = {𝑣}))
75, 6ax-mp 5 . . 3 ((#‘𝐴) = 1 ↔ ∃𝑣 𝐴 = {𝑣})
8 exsnrex 4192 . . . . 5 (∃𝑣 𝐴 = {𝑣} ↔ ∃𝑣𝐴 𝐴 = {𝑣})
9 ssrab2 3666 . . . . . . . 8 {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾} ⊆ 𝑉
101, 9eqsstri 3614 . . . . . . 7 𝐴𝑉
11 ssrexv 3646 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → (∃𝑣𝐴 𝐴 = {𝑣} → ∃𝑣𝑉 𝐴 = {𝑣}))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6 (∃𝑣𝐴 𝐴 = {𝑣} → ∃𝑣𝑉 𝐴 = {𝑣})
13 frgrwopreg.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
14 frgrwopreg.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (𝑉𝐴)
15 frgrwopreg.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (Edg‘𝐺)
162, 13, 1, 14, 15frgrwopreglem4 27042 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑢𝐴𝑤𝐵 {𝑢, 𝑤} ∈ 𝐸)
17 vsnid 4180 . . . . . . . . . . 11 𝑣 ∈ {𝑣}
18 eleq2 2687 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = {𝑣} → (𝑣𝐴𝑣 ∈ {𝑣}))
1917, 18mpbiri 248 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = {𝑣} → 𝑣𝐴)
20 preq1 4238 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑣 → {𝑢, 𝑤} = {𝑣, 𝑤})
2120eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑣 → ({𝑢, 𝑤} ∈ 𝐸 ↔ {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
2221ralbidv 2980 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑣 → (∀𝑤𝐵 {𝑢, 𝑤} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑤𝐵 {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
2322rspcv 3291 . . . . . . . . . 10 (𝑣𝐴 → (∀𝑢𝐴𝑤𝐵 {𝑢, 𝑤} ∈ 𝐸 → ∀𝑤𝐵 {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
2419, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 = {𝑣} → (∀𝑢𝐴𝑤𝐵 {𝑢, 𝑤} ∈ 𝐸 → ∀𝑤𝐵 {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
25 difeq2 3700 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = {𝑣} → (𝑉𝐴) = (𝑉 ∖ {𝑣}))
2614, 25syl5eq 2667 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = {𝑣} → 𝐵 = (𝑉 ∖ {𝑣}))
2726raleqdv 3133 . . . . . . . . 9 (𝐴 = {𝑣} → (∀𝑤𝐵 {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
2824, 27sylibd 229 . . . . . . . 8 (𝐴 = {𝑣} → (∀𝑢𝐴𝑤𝐵 {𝑢, 𝑤} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
2916, 28syl5com 31 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝐴 = {𝑣} → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
3029reximdv 3010 . . . . . 6 (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑣𝑉 𝐴 = {𝑣} → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
3112, 30syl5com 31 . . . . 5 (∃𝑣𝐴 𝐴 = {𝑣} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
328, 31sylbi 207 . . . 4 (∃𝑣 𝐴 = {𝑣} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
3332com12 32 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑣 𝐴 = {𝑣} → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
347, 33syl5bi 232 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph → ((#‘𝐴) = 1 → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
3534imp 445 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (#‘𝐴) = 1) → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480  ∃wex 1701   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  ∃wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3186   ∖ cdif 3552   ⊆ wss 3555  {csn 4148  {cpr 4150  ‘cfv 5847  1c1 9881  #chash 13057  Vtxcvtx 25774  Edgcedg 25839  VtxDegcvtxdg 26248   FriendGraph cfrgr 26986 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-xadd 11891  df-fz 12269  df-hash 13058  df-edg 25840  df-uhgr 25849  df-ushgr 25850  df-upgr 25873  df-umgr 25874  df-uspgr 25938  df-usgr 25939  df-nbgr 26115  df-vtxdg 26249  df-frgr 26987 This theorem is referenced by:  frgrregorufr0  27047
 Copyright terms: Public domain W3C validator