Theorem frlmbas3 20915

Description: An element of the base set of a finite free module with a Cartesian product as index set as operation value. (Contributed by AV, 14-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmbas3.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑀))
frlmbas3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
frlmbas3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frlmbas3	⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → (𝐼𝑋𝐽) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem frlmbas3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmbas3.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐹)
2	1	eleq2i 2903	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐹))
3	2	biimpi 218	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐹))
4	3	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐹))
5	4	3ad2ant1 1128	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐹))
6		simpl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝑊)
7		xpfi 8782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑀) ∈ Fin)
8	6, 7	anim12i 614	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin)) → (𝑅 ∈ 𝑊 ∧ (𝑁 × 𝑀) ∈ Fin))
9	8	3adant3 1127	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → (𝑅 ∈ 𝑊 ∧ (𝑁 × 𝑀) ∈ Fin))
10		frlmbas3.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑀))
11		frlmbas3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12	10, 11	frlmfibas 20901	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ (𝑁 × 𝑀) ∈ Fin) → (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)) = (Base‘𝐹))
13	9, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)) = (Base‘𝐹))
14	5, 13	eleqtrrd 2915	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)))
15		elmapi 8421	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
17		simp3l 1196	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
18		simp3r 1197	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → 𝐽 ∈ 𝑀)
19	16, 17, 18	fovrnd 7313	1 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → (𝐼𝑋𝐽) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   × cxp 5546  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149   ↑_m cmap 8399  Fincfn 8502  Basecbs 16478   freeLMod cfrlm 20885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-supp 7824  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-oadd 8099  df-er 8282  df-map 8401  df-ixp 8455  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-fin 8506  df-fsupp 8827  df-sup 8899  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12890  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-prds 16716  df-pws 16718  df-sra 19939  df-rgmod 19940  df-dsmm 20871  df-frlm 20886

This theorem is referenced by: (None)