Theorem frlmbas3 20163

Description: An element of the base set of a finite free module with a Cartesian product as index set as operation value. (Contributed by AV, 14-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmbas3.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑀))
frlmbas3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
frlmbas3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frlmbas3	⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → (𝐼𝑋𝐽) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem frlmbas3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmbas3.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐹)
2	1	eleq2i 2722	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐹))
3	2	biimpi 206	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐹))
4	3	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐹))
5	4	3ad2ant1 1102	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐹))
6		simpl 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝑊)
7		xpfi 8272	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑀) ∈ Fin)
8	6, 7	anim12i 589	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin)) → (𝑅 ∈ 𝑊 ∧ (𝑁 × 𝑀) ∈ Fin))
9	8	3adant3 1101	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → (𝑅 ∈ 𝑊 ∧ (𝑁 × 𝑀) ∈ Fin))
10		frlmbas3.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑀))
11		frlmbas3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12	10, 11	frlmfibas 20153	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ (𝑁 × 𝑀) ∈ Fin) → (𝐵 ↑𝑚 (𝑁 × 𝑀)) = (Base‘𝐹))
13	9, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → (𝐵 ↑𝑚 (𝑁 × 𝑀)) = (Base‘𝐹))
14	5, 13	eleqtrrd 2733	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝑁 × 𝑀)))
15		elmapi 7921	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝑁 × 𝑀)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
17		simp3l 1109	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
18		simp3r 1110	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → 𝐽 ∈ 𝑀)
19	16, 17, 18	fovrnd 6848	1 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑀)) → (𝐼𝑋𝐽) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   × cxp 5141  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↑_𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997  Basecbs 15904   freeLMod cfrlm 20138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-prds 16155  df-pws 16157  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-dsmm 20124  df-frlm 20139

This theorem is referenced by: (None)