Theorem fovrnd 7320

Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fovrnd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
fovrnd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
fovrnd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fovrnd	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovrnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovrnd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
2		fovrnd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
3		fovrnd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
4		fovrn 7318	. 2 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1367	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   × cxp 5553  ⟶wf 6351  (class class class)co 7156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pr 5330

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-fv 6363  df-ov 7159

This theorem is referenced by:  eroveu  8392  fseqenlem1  9450  rlimcn2  14947  homarel  17296  curf1cl  17478  curf2cl  17481  hofcllem  17508  yonedalem3b  17529  gasubg  18432  gacan  18435  gapm  18436  gastacos  18440  orbsta  18443  galactghm  18532  sylow1lem2  18724  sylow2alem2  18743  sylow3lem1  18752  efgcpbllemb  18881  frgpuplem  18898  frlmbas3  20920  mamucl  21010  mamuass  21011  mamudi  21012  mamudir  21013  mamuvs1  21014  mamuvs2  21015  mamulid  21050  mamurid  21051  mamutpos  21067  matgsumcl  21069  mavmulcl  21156  mavmulass  21158  mdetleib2  21197  mdetf  21204  mdetdiaglem  21207  mdetrlin  21211  mdetrsca  21212  mdetralt  21217  mdetunilem7  21227  maducoeval2  21249  madugsum  21252  madurid  21253  tsmsxplem2  22762  isxmet2d  22937  ismet2  22943  prdsxmetlem  22978  comet  23123  ipcn  23849  ovoliunlem2  24104  itg1addlem4  24300  itg1addlem5  24301  mbfi1fseqlem5  24320  limccnp2  24490  midcl  26563  fedgmullem2  31026  pstmxmet  31137  cvmlift2lem9  32558  isbnd3  35077  prdsbnd  35086  iscringd  35291  rmxycomplete  39534  rmxyadd  39538