Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptnn0fzfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptnn0fzfv 18584
 Description: A final group sum over a function over the nonnegative integers (given as mapping to its function values) is equal to a final group sum over a finite interval of nonnegative integers. (Contributed by AV, 10-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptnn0fzfv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptnn0fzfv.0 0 = (0g𝐺)
gsummptnn0fzfv.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsummptnn0fzfv.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐵𝑚0))
gsummptnn0fzfv.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
gsummptnn0fzfv.u (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ))
Assertion
Ref Expression
gsummptnn0fzfv (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝐹𝑘))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   0 ,𝑘,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem gsummptnn0fzfv
StepHypRef Expression
1 gsummptnn0fzfv.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsummptnn0fzfv.0 . 2 0 = (0g𝐺)
3 gsummptnn0fzfv.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsummptnn0fzfv.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐵𝑚0))
5 elmapi 8045 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐵𝑚0) → 𝐹:ℕ0𝐵)
6 ffvelrn 6520 . . . . 5 ((𝐹:ℕ0𝐵𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
76ex 449 . . . 4 (𝐹:ℕ0𝐵 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) ∈ 𝐵))
84, 5, 73syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) ∈ 𝐵))
98ralrimiv 3103 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
10 gsummptnn0fzfv.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
11 gsummptnn0fzfv.u . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ))
12 breq2 4808 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → (𝑆 < 𝑥𝑆 < 𝑘))
13 fveq2 6352 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑘))
1413eqeq1d 2762 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹𝑥) = 0 ↔ (𝐹𝑘) = 0 ))
1512, 14imbi12d 333 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑘 → (𝐹𝑘) = 0 )))
1615cbvralv 3310 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → (𝐹𝑘) = 0 ))
1711, 16sylib 208 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → (𝐹𝑘) = 0 ))
181, 2, 3, 9, 10, 17gsummptnn0fzv 18583 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝐹𝑘))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ↑𝑚 cmap 8023  0cc0 10128   < clt 10266  ℕ0cn0 11484  ...cfz 12519  Basecbs 16059  0gc0g 16302   Σg cgsu 16303  CMndccmn 18393 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-cntz 17950  df-cmn 18395 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator