HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hoddii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoddii 28034
Description: Distributive law for Hilbert space operator difference. (Interestingly, the reverse distributive law hocsubdiri 27825 does not require linearity.) (Contributed by NM, 11-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hoddi.1 𝑅 ∈ LinOp
hoddi.2 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hoddi.3 𝑇: ℋ⟶ ℋ
Assertion
Ref Expression
hoddii (𝑅 ∘ (𝑆op 𝑇)) = ((𝑅𝑆) −op (𝑅𝑇))

Proof of Theorem hoddii
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hoddi.2 . . . . . . 7 𝑆: ℋ⟶ ℋ
21ffvelrni 6247 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑆𝑥) ∈ ℋ)
3 hoddi.3 . . . . . . 7 𝑇: ℋ⟶ ℋ
43ffvelrni 6247 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
5 hoddi.1 . . . . . . 7 𝑅 ∈ LinOp
65lnopsubi 28019 . . . . . 6 (((𝑆𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → (𝑅‘((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥))) = ((𝑅‘(𝑆𝑥)) − (𝑅‘(𝑇𝑥))))
72, 4, 6syl2anc 690 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑅‘((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥))) = ((𝑅‘(𝑆𝑥)) − (𝑅‘(𝑇𝑥))))
8 hodval 27787 . . . . . . 7 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)))
91, 3, 8mp3an12 1405 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)))
109fveq2d 6088 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑅‘((𝑆op 𝑇)‘𝑥)) = (𝑅‘((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥))))
115lnopfi 28014 . . . . . . 7 𝑅: ℋ⟶ ℋ
1211, 1hocoi 27809 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅𝑆)‘𝑥) = (𝑅‘(𝑆𝑥)))
1311, 3hocoi 27809 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅𝑇)‘𝑥) = (𝑅‘(𝑇𝑥)))
1412, 13oveq12d 6541 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅𝑆)‘𝑥) − ((𝑅𝑇)‘𝑥)) = ((𝑅‘(𝑆𝑥)) − (𝑅‘(𝑇𝑥))))
157, 10, 143eqtr4d 2649 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑅‘((𝑆op 𝑇)‘𝑥)) = (((𝑅𝑆)‘𝑥) − ((𝑅𝑇)‘𝑥)))
161, 3hosubcli 27814 . . . . 5 (𝑆op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
1711, 16hocoi 27809 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅 ∘ (𝑆op 𝑇))‘𝑥) = (𝑅‘((𝑆op 𝑇)‘𝑥)))
1811, 1hocofi 27811 . . . . 5 (𝑅𝑆): ℋ⟶ ℋ
1911, 3hocofi 27811 . . . . 5 (𝑅𝑇): ℋ⟶ ℋ
20 hodval 27787 . . . . 5 (((𝑅𝑆): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑅𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑅𝑆) −op (𝑅𝑇))‘𝑥) = (((𝑅𝑆)‘𝑥) − ((𝑅𝑇)‘𝑥)))
2118, 19, 20mp3an12 1405 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅𝑆) −op (𝑅𝑇))‘𝑥) = (((𝑅𝑆)‘𝑥) − ((𝑅𝑇)‘𝑥)))
2215, 17, 213eqtr4d 2649 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅 ∘ (𝑆op 𝑇))‘𝑥) = (((𝑅𝑆) −op (𝑅𝑇))‘𝑥))
2322rgen 2901 . 2 𝑥 ∈ ℋ ((𝑅 ∘ (𝑆op 𝑇))‘𝑥) = (((𝑅𝑆) −op (𝑅𝑇))‘𝑥)
2411, 16hocofi 27811 . . 3 (𝑅 ∘ (𝑆op 𝑇)): ℋ⟶ ℋ
2518, 19hosubcli 27814 . . 3 ((𝑅𝑆) −op (𝑅𝑇)): ℋ⟶ ℋ
2624, 25hoeqi 27806 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑅 ∘ (𝑆op 𝑇))‘𝑥) = (((𝑅𝑆) −op (𝑅𝑇))‘𝑥) ↔ (𝑅 ∘ (𝑆op 𝑇)) = ((𝑅𝑆) −op (𝑅𝑇)))
2723, 26mpbi 218 1 (𝑅 ∘ (𝑆op 𝑇)) = ((𝑅𝑆) −op (𝑅𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wcel 1975  wral 2891  ccom 5028  wf 5782  cfv 5786  (class class class)co 6523  chil 26962   cmv 26968  op chod 26983  LinOpclo 26990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-hilex 27042  ax-hfvadd 27043  ax-hvass 27045  ax-hv0cl 27046  ax-hvaddid 27047  ax-hfvmul 27048  ax-hvmulid 27049  ax-hvdistr2 27052  ax-hvmul0 27053
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-er 7602  df-map 7719  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-ltxr 9931  df-sub 10115  df-neg 10116  df-hvsub 27014  df-hodif 27777  df-lnop 27886
This theorem is referenced by:  hoddi  28035  unierri  28149
  Copyright terms: Public domain W3C validator