MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idrespermg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idrespermg 17603
Description: The structure with the singleton containing only the identity function restricted to a set as base set and the function composition as group operation (constructed by (structure) restricting the symmetric group to that singleton) is a permutation group (group consisting of permutations). (Contributed by AV, 17-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
idresperm.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
idrespermg.e 𝐸 = (𝐺s {( I ↾ 𝐴)})
Assertion
Ref Expression
idrespermg (𝐴𝑉 → (𝐸 ∈ Grp ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺)))

Proof of Theorem idrespermg
StepHypRef Expression
1 idresperm.g . . 3 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
21idressubgsymg 17602 . 2 (𝐴𝑉 → {( I ↾ 𝐴)} ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 eqid 2609 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
41, 3pgrpsubgsymgbi 17599 . . 3 (𝐴𝑉 → ({( I ↾ 𝐴)} ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Grp)))
5 snex 4830 . . . . . . 7 {( I ↾ 𝐴)} ∈ V
6 idrespermg.e . . . . . . . 8 𝐸 = (𝐺s {( I ↾ 𝐴)})
76, 3ressbas 15706 . . . . . . 7 ({( I ↾ 𝐴)} ∈ V → ({( I ↾ 𝐴)} ∩ (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐸))
85, 7mp1i 13 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → ({( I ↾ 𝐴)} ∩ (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐸))
9 inss2 3795 . . . . . 6 ({( I ↾ 𝐴)} ∩ (Base‘𝐺)) ⊆ (Base‘𝐺)
108, 9syl6eqssr 3618 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺))
116eqcomi 2618 . . . . . . . 8 (𝐺s {( I ↾ 𝐴)}) = 𝐸
1211eleq1i 2678 . . . . . . 7 ((𝐺s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Grp ↔ 𝐸 ∈ Grp)
1312biimpi 204 . . . . . 6 ((𝐺s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Grp → 𝐸 ∈ Grp)
1413adantl 480 . . . . 5 (({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Grp) → 𝐸 ∈ Grp)
1510, 14anim12ci 588 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Grp)) → (𝐸 ∈ Grp ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺)))
1615ex 448 . . 3 (𝐴𝑉 → (({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Grp) → (𝐸 ∈ Grp ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺))))
174, 16sylbid 228 . 2 (𝐴𝑉 → ({( I ↾ 𝐴)} ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐸 ∈ Grp ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺))))
182, 17mpd 15 1 (𝐴𝑉 → (𝐸 ∈ Grp ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  cin 3538  wss 3539  {csn 4124   I cid 4938  cres 5030  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15644  s cress 15645  Grpcgrp 17194  SubGrpcsubg 17360  SymGrpcsymg 17569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-fz 12156  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-tset 15736  df-0g 15874  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-grp 17197  df-minusg 17198  df-subg 17363  df-symg 17570
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator