MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressbas 15851
Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
ressbas.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ressbas (𝐴𝑉 → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas
StepHypRef Expression
1 ressbas.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑊)
2 simp1 1059 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝐵𝐴)
3 sseqin2 3795 . . . . . 6 (𝐵𝐴 ↔ (𝐴𝐵) = 𝐵)
42, 3sylib 208 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = 𝐵)
5 ressbas.r . . . . . . 7 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
65, 1ressid2 15849 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
76fveq2d 6152 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑊))
81, 4, 73eqtr4a 2681 . . . 4 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
983expib 1265 . . 3 (𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅)))
10 simp2 1060 . . . . . 6 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑊 ∈ V)
11 fvex 6158 . . . . . . . 8 (Base‘𝑊) ∈ V
121, 11eqeltri 2694 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
1312inex2 4760 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ∈ V
14 baseid 15840 . . . . . . 7 Base = Slot (Base‘ndx)
1514setsid 15835 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ V ∧ (𝐴𝐵) ∈ V) → (𝐴𝐵) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩)))
1610, 13, 15sylancl 693 . . . . 5 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩)))
175, 1ressval2 15850 . . . . . 6 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩))
1817fveq2d 6152 . . . . 5 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩)))
1916, 18eqtr4d 2658 . . . 4 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
20193expib 1265 . . 3 𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅)))
219, 20pm2.61i 176 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
22 0fv 6184 . . . . 5 (∅‘(Base‘ndx)) = ∅
23 0ex 4750 . . . . . 6 ∅ ∈ V
2423, 14strfvn 15801 . . . . 5 (Base‘∅) = (∅‘(Base‘ndx))
25 in0 3940 . . . . 5 (𝐴 ∩ ∅) = ∅
2622, 24, 253eqtr4ri 2654 . . . 4 (𝐴 ∩ ∅) = (Base‘∅)
27 fvprc 6142 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑊) = ∅)
281, 27syl5eq 2667 . . . . 5 𝑊 ∈ V → 𝐵 = ∅)
2928ineq2d 3792 . . . 4 𝑊 ∈ V → (𝐴𝐵) = (𝐴 ∩ ∅))
30 reldmress 15847 . . . . . . 7 Rel dom ↾s
3130ovprc1 6637 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → (𝑊s 𝐴) = ∅)
325, 31syl5eq 2667 . . . . 5 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
3332fveq2d 6152 . . . 4 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘∅))
3426, 29, 333eqtr4a 2681 . . 3 𝑊 ∈ V → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
3534adantr 481 . 2 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
3621, 35pm2.61ian 830 1 (𝐴𝑉 → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  cin 3554  wss 3555  c0 3891  cop 4154  cfv 5847  (class class class)co 6604  ndxcnx 15778   sSet csts 15779  Basecbs 15781  s cress 15782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-nn 10965  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788
This theorem is referenced by:  ressbas2  15852  ressbasss  15853  ressress  15859  rescabs  16414  resscatc  16676  resscntz  17685  idrespermg  17752  opprsubg  18557  subrgpropd  18735  sralmod  19106  resstopn  20900  resstps  20901  ressuss  21977  ressxms  22240  ressms  22241  cphsubrglem  22885  resspos  29441  resstos  29442  xrge0base  29467  xrge00  29468  submomnd  29492  suborng  29597  gsumge0cl  39892  sge0tsms  39901  lidlssbas  41207  lidlbas  41208  uzlidlring  41214  dmatALTbas  41475
  Copyright terms: Public domain W3C validator