Theorem ressbas 16130

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbas	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		simp1 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
3		sseqin2 3958	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐵)
4	2, 3	sylib 208	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐵)
5		ressbas.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
6	5, 1	ressid2 16128	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
7	6	fveq2d 6354	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑊))
8	1, 4, 7	3eqtr4a 2818	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
9	8	3expib 1117	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅)))
10		simp2 1132	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ V)
11		fvex 6360	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) ∈ V
12	1, 11	eqeltri 2833	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
13	12	inex2 4950	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V
14		baseid 16119	. . . . . . 7 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
15	14	setsid 16114	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ 𝐵)⟩)))
16	10, 13, 15	sylancl 697	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ 𝐵)⟩)))
17	5, 1	ressval2 16129	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ 𝐵)⟩))
18	17	fveq2d 6354	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ 𝐵)⟩)))
19	16, 18	eqtr4d 2795	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
20	19	3expib 1117	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅)))
21	9, 20	pm2.61i 176	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
22		0fv 6386	. . . . 5 ⊢ (∅‘(Base‘ndx)) = ∅
23		0ex 4940	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
24	23, 14	strfvn 16079	. . . . 5 ⊢ (Base‘∅) = (∅‘(Base‘ndx))
25		in0 4109	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
26	22, 24, 25	3eqtr4ri 2791	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = (Base‘∅)
27		fvprc 6344	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑊) = ∅)
28	1, 27	syl5eq 2804	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐵 = ∅)
29	28	ineq2d 3955	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ ∅))
30		reldmress 16126	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom ↾s
31	30	ovprc1 6845	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) = ∅)
32	5, 31	syl5eq 2804	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
33	32	fveq2d 6354	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘∅))
34	26, 29, 33	3eqtr4a 2818	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
35	34	adantr 472	. 2 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
36	21, 35	pm2.61ian 866	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1630   ∈ wcel 2137  Vcvv 3338   ∩ cin 3712   ⊆ wss 3713  ∅c0 4056  ⟨cop 4325  ‘cfv 6047  (class class class)co 6811  ndxcnx 16054   sSet csts 16055  Basecbs 16057   ↾_s cress 16058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-nn 11211  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065

This theorem is referenced by:  ressbas2  16131  ressbasss  16132  ressress  16138  rescabs  16692  resscatc  16954  resscntz  17962  idrespermg  18029  opprsubg  18834  subrgpropd  19014  sralmod  19387  resstopn  21190  resstps  21191  ressuss  22266  ressxms  22529  ressms  22530  cphsubrglem  23175  resspos  29966  resstos  29967  xrge0base  29992  xrge00  29993  submomnd  30017  suborng  30122  gsumge0cl  41089  sge0tsms  41098  lidlssbas  42430  lidlbas  42431  uzlidlring  42437  dmatALTbas  42698