MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cayleylem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cayleylem1 17547
Description: Lemma for cayley 17549. (Contributed by Paul Chapman, 3-Mar-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cayleylem1.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
cayleylem1.p + = (+g𝐺)
cayleylem1.u 0 = (0g𝐺)
cayleylem1.h 𝐻 = (SymGrp‘𝑋)
cayleylem1.s 𝑆 = (Base‘𝐻)
cayleylem1.f 𝐹 = (𝑔𝑋 ↦ (𝑎𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
Assertion
Ref Expression
cayleylem1 (𝐺 ∈ Grp → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑎, +   𝐺,𝑎,𝑔   𝑔,𝐻   𝑋,𝑎,𝑔   0 ,𝑎
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑔,𝑎)   𝐹(𝑔,𝑎)   𝐻(𝑎)   0 (𝑔)

Proof of Theorem cayleylem1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cayleylem1.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 cayleylem1.p . . 3 + = (+g𝐺)
3 eqid 2514 . . 3 (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑦)) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑦))
41, 2, 3gaid2 17451 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ (𝐺 GrpAct 𝑋))
5 cayleylem1.h . . 3 𝐻 = (SymGrp‘𝑋)
6 cayleylem1.f . . . 4 𝐹 = (𝑔𝑋 ↦ (𝑎𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
7 oveq12 6435 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑔𝑦 = 𝑎) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑔 + 𝑎))
8 ovex 6454 . . . . . . 7 (𝑔 + 𝑎) ∈ V
97, 3, 8ovmpt2a 6566 . . . . . 6 ((𝑔𝑋𝑎𝑋) → (𝑔(𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑦))𝑎) = (𝑔 + 𝑎))
109mpteq2dva 4570 . . . . 5 (𝑔𝑋 → (𝑎𝑋 ↦ (𝑔(𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑦))𝑎)) = (𝑎𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
1110mpteq2ia 4566 . . . 4 (𝑔𝑋 ↦ (𝑎𝑋 ↦ (𝑔(𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑦))𝑎))) = (𝑔𝑋 ↦ (𝑎𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
126, 11eqtr4i 2539 . . 3 𝐹 = (𝑔𝑋 ↦ (𝑎𝑋 ↦ (𝑔(𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑦))𝑎)))
131, 5, 12galactghm 17538 . 2 ((𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ (𝐺 GrpAct 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
144, 13syl 17 1 (𝐺 ∈ Grp → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1938  cmpt 4541  cfv 5689  (class class class)co 6426  cmpt2 6428  Basecbs 15579  +gcplusg 15652  0gc0g 15807  Grpcgrp 17137   GrpHom cghm 17372   GrpAct cga 17437  SymGrpcsymg 17512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-1o 7323  df-oadd 7327  df-er 7505  df-map 7622  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-fin 7721  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-nn 10776  df-2 10834  df-3 10835  df-4 10836  df-5 10837  df-6 10838  df-7 10839  df-8 10840  df-9 10841  df-n0 11048  df-z 11119  df-uz 11428  df-fz 12066  df-struct 15581  df-ndx 15582  df-slot 15583  df-base 15584  df-sets 15585  df-ress 15586  df-plusg 15665  df-tset 15671  df-0g 15809  df-mgm 16957  df-sgrp 16999  df-mnd 17010  df-grp 17140  df-minusg 17141  df-subg 17306  df-ghm 17373  df-ga 17438  df-symg 17513
This theorem is referenced by:  cayleylem2  17548  cayley  17549
  Copyright terms: Public domain W3C validator