MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasvscaval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasvscaval 16396
Description: The value of an image structure's scalar multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasvscaf.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasvscaf.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasvscaf.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasvscaf.r (𝜑𝑅𝑍)
imasvscaf.g 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
imasvscaf.k 𝐾 = (Base‘𝐺)
imasvscaf.q · = ( ·𝑠𝑅)
imasvscaf.s = ( ·𝑠𝑈)
imasvscaf.e ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
Assertion
Ref Expression
imasvscaval ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑋 (𝐹𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑝,𝑎,𝑞,𝐹   𝐾,𝑎,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   ,𝑎,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑅(𝑎)   · (𝑎)   𝑈(𝑞,𝑝,𝑎)   𝐺(𝑞,𝑝,𝑎)   𝑋(𝑞,𝑎)   𝑌(𝑎)   𝑍(𝑞,𝑝,𝑎)

Proof of Theorem imasvscaval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasvscaf.u . . . . . . 7 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasvscaf.v . . . . . . 7 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imasvscaf.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
4 imasvscaf.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅𝑍)
5 imasvscaf.g . . . . . . 7 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
6 imasvscaf.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝐺)
7 imasvscaf.q . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑅)
8 imasvscaf.s . . . . . . 7 = ( ·𝑠𝑈)
9 imasvscaf.e . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9imasvscafn 16395 . . . . . 6 (𝜑 Fn (𝐾 × 𝐵))
11 fnfun 6145 . . . . . 6 ( Fn (𝐾 × 𝐵) → Fun )
1210, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑 → Fun )
13123ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → Fun )
14 eqidd 2757 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑌𝐾 = 𝐾)
15 fveq2 6348 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑌 → (𝐹𝑞) = (𝐹𝑌))
1615sneqd 4329 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑌 → {(𝐹𝑞)} = {(𝐹𝑌)})
17 oveq2 6817 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑌 → (𝑝 · 𝑞) = (𝑝 · 𝑌))
1817fveq2d 6352 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑌 → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))
1914, 16, 18mpt2eq123dv 6878 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑌 → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) = (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))))
2019ssiun2s 4712 . . . . . 6 (𝑌𝑉 → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
21203ad2ant3 1130 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8imasvsca 16378 . . . . . 6 (𝜑 = 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
23223ad2ant1 1128 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → = 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
2421, 23sseqtr4d 3779 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ )
25 simp2 1132 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → 𝑋𝐾)
26 fvex 6358 . . . . . . 7 (𝐹𝑌) ∈ V
2726snid 4349 . . . . . 6 (𝐹𝑌) ∈ {(𝐹𝑌)}
28 opelxpi 5301 . . . . . 6 ((𝑋𝐾 ∧ (𝐹𝑌) ∈ {(𝐹𝑌)}) → ⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹𝑌)}))
2925, 27, 28sylancl 697 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → ⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹𝑌)}))
30 eqid 2756 . . . . . 6 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) = (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))
31 fvex 6358 . . . . . 6 (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)) ∈ V
3230, 31dmmpt2 7404 . . . . 5 dom (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) = (𝐾 × {(𝐹𝑌)})
3329, 32syl6eleqr 2846 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → ⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩ ∈ dom (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))))
34 funssfv 6366 . . . 4 ((Fun ∧ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ ∧ ⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩ ∈ dom (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))) → ( ‘⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩) = ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))‘⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩))
3513, 24, 33, 34syl3anc 1477 . . 3 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → ( ‘⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩) = ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))‘⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩))
36 df-ov 6812 . . 3 (𝑋 (𝐹𝑌)) = ( ‘⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩)
37 df-ov 6812 . . 3 (𝑋(𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹𝑌)) = ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))‘⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩)
3835, 36, 373eqtr4g 2815 . 2 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑋 (𝐹𝑌)) = (𝑋(𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹𝑌)))
39 oveq1 6816 . . . . 5 (𝑝 = 𝑋 → (𝑝 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
4039fveq2d 6352 . . . 4 (𝑝 = 𝑋 → (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
41 eqidd 2757 . . . 4 (𝑥 = (𝐹𝑌) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
42 fvex 6358 . . . 4 (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) ∈ V
4340, 41, 30, 42ovmpt2 6957 . . 3 ((𝑋𝐾 ∧ (𝐹𝑌) ∈ {(𝐹𝑌)}) → (𝑋(𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
4425, 27, 43sylancl 697 . 2 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑋(𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
4538, 44eqtrd 2790 1 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑋 (𝐹𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1628  wcel 2135  wss 3711  {csn 4317  cop 4323   ciun 4668   × cxp 5260  dom cdm 5262  Fun wfun 6039   Fn wfn 6040  ontowfo 6043  cfv 6045  (class class class)co 6809  cmpt2 6811  Basecbs 16055  Scalarcsca 16142   ·𝑠 cvsca 16143  s cimas 16362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-sup 8509  df-inf 8510  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-4 11269  df-5 11270  df-6 11271  df-7 11272  df-8 11273  df-9 11274  df-n0 11481  df-z 11566  df-dec 11682  df-uz 11876  df-fz 12516  df-struct 16057  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-base 16061  df-plusg 16152  df-mulr 16153  df-sca 16155  df-vsca 16156  df-ip 16157  df-tset 16158  df-ple 16159  df-ds 16162  df-imas 16366
This theorem is referenced by:  xpsvsca  16437
  Copyright terms: Public domain W3C validator