MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioorinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorinv 23250
Description: The function 𝐹 is an "inverse" of sorts to the open interval function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ioorf.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
Assertion
Ref Expression
ioorinv (𝐴 ∈ ran (,) → ((,)‘(𝐹𝐴)) = 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem ioorinv
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 12213 . . . 4 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
2 ffn 6002 . . . 4 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
3 ovelrn 6763 . . . 4 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝐴 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏)))
41, 2, 3mp2b 10 . . 3 (𝐴 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏))
5 ioorf.1 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
65ioorinv2 23249 . . . . . . . 8 ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)) = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
76fveq2d 6152 . . . . . . 7 ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))) = ((,)‘⟨𝑎, 𝑏⟩))
8 df-ov 6607 . . . . . . 7 (𝑎(,)𝑏) = ((,)‘⟨𝑎, 𝑏⟩)
97, 8syl6eqr 2673 . . . . . 6 ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))) = (𝑎(,)𝑏))
10 df-ne 2791 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
11 neeq1 2852 . . . . . . . 8 (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅))
1210, 11syl5bbr 274 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (¬ 𝐴 = ∅ ↔ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅))
13 fveq2 6148 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (𝐹𝐴) = (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)))
1413fveq2d 6152 . . . . . . . 8 (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → ((,)‘(𝐹𝐴)) = ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))))
15 id 22 . . . . . . . 8 (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → 𝐴 = (𝑎(,)𝑏))
1614, 15eqeq12d 2636 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (((,)‘(𝐹𝐴)) = 𝐴 ↔ ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))) = (𝑎(,)𝑏)))
1712, 16imbi12d 334 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → ((¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹𝐴)) = 𝐴) ↔ ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → ((,)‘(𝐹‘(𝑎(,)𝑏))) = (𝑎(,)𝑏))))
189, 17mpbiri 248 . . . . 5 (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹𝐴)) = 𝐴))
1918a1i 11 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹𝐴)) = 𝐴)))
2019rexlimivv 3029 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹𝐴)) = 𝐴))
214, 20sylbi 207 . 2 (𝐴 ∈ ran (,) → (¬ 𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹𝐴)) = 𝐴))
22 ioorebas 12217 . . . . . . 7 (0(,)0) ∈ ran (,)
235ioorval 23248 . . . . . . 7 ((0(,)0) ∈ ran (,) → (𝐹‘(0(,)0)) = if((0(,)0) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐹‘(0(,)0)) = if((0(,)0) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩)
25 iooid 12145 . . . . . . 7 (0(,)0) = ∅
2625iftruei 4065 . . . . . 6 if((0(,)0) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((0(,)0), ℝ*, < ), sup((0(,)0), ℝ*, < )⟩) = ⟨0, 0⟩
2724, 26eqtri 2643 . . . . 5 (𝐹‘(0(,)0)) = ⟨0, 0⟩
2827fveq2i 6151 . . . 4 ((,)‘(𝐹‘(0(,)0))) = ((,)‘⟨0, 0⟩)
29 df-ov 6607 . . . 4 (0(,)0) = ((,)‘⟨0, 0⟩)
3028, 29eqtr4i 2646 . . 3 ((,)‘(𝐹‘(0(,)0))) = (0(,)0)
3125eqeq2i 2633 . . . . . 6 (𝐴 = (0(,)0) ↔ 𝐴 = ∅)
3231biimpri 218 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = (0(,)0))
3332fveq2d 6152 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝐹𝐴) = (𝐹‘(0(,)0)))
3433fveq2d 6152 . . 3 (𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹𝐴)) = ((,)‘(𝐹‘(0(,)0))))
3530, 34, 323eqtr4a 2681 . 2 (𝐴 = ∅ → ((,)‘(𝐹𝐴)) = 𝐴)
3621, 35pm2.61d2 172 1 (𝐴 ∈ ran (,) → ((,)‘(𝐹𝐴)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  c0 3891  ifcif 4058  𝒫 cpw 4130  cop 4154  cmpt 4673   × cxp 5072  ran crn 5075   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  supcsup 8290  infcinf 8291  cr 9879  0cc0 9880  *cxr 10017   < clt 10018  (,)cioo 12117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-ioo 12121
This theorem is referenced by:  uniioombllem2  23257
  Copyright terms: Public domain W3C validator