MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioombllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniioombllem2 23257
Description: Lemma for uniioombl 23263. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.2 (𝜑Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)))
uniioombl.3 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
uniioombl.a 𝐴 = ran ((,) ∘ 𝐹)
uniioombl.e (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
uniioombl.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
uniioombl.g (𝜑𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.s (𝜑𝐸 ran ((,) ∘ 𝐺))
uniioombl.t 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
uniioombl.v (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
uniioombllem2.h 𝐻 = (𝑧 ∈ ℕ ↦ (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
uniioombllem2.k 𝐾 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
Assertion
Ref Expression
uniioombllem2 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → seq1( + , (vol* ∘ 𝐻)) ⇝ (vol*‘(((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐹   𝑥,𝐺,𝑧   𝑥,𝐾,𝑧   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐶,𝑧   𝑥,𝐻,𝑧   𝑥,𝐽,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧   𝑥,𝑇,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑧)   𝐸(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem uniioombllem2
Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11667 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 eqid 2621 . . 3 seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))
3 1zzd 11352 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
4 eqidd 2622 . . 3 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛) = (((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛))
5 uniioombl.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
6 uniioombl.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)))
7 uniioombl.3 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
8 uniioombl.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = ran ((,) ∘ 𝐹)
9 uniioombl.e . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
10 uniioombl.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
11 uniioombl.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
12 uniioombl.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ran ((,) ∘ 𝐺))
13 uniioombl.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
14 uniioombl.v . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
155, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14uniioombllem2a 23256 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ∈ ran (,))
16 inss2 3812 . . . . . . . . . . . . 13 (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ⊆ ((,)‘(𝐺𝐽))
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ⊆ ((,)‘(𝐺𝐽)))
18 inss2 3812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
1911ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (𝐺𝐽) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2018, 19sseldi 3581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (𝐺𝐽) ∈ (ℝ × ℝ))
21 1st2nd2 7150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺𝐽) ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺𝐽) = ⟨(1st ‘(𝐺𝐽)), (2nd ‘(𝐺𝐽))⟩)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (𝐺𝐽) = ⟨(1st ‘(𝐺𝐽)), (2nd ‘(𝐺𝐽))⟩)
2322fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((,)‘(𝐺𝐽)) = ((,)‘⟨(1st ‘(𝐺𝐽)), (2nd ‘(𝐺𝐽))⟩))
24 df-ov 6607 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1st ‘(𝐺𝐽))(,)(2nd ‘(𝐺𝐽))) = ((,)‘⟨(1st ‘(𝐺𝐽)), (2nd ‘(𝐺𝐽))⟩)
2523, 24syl6eqr 2673 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((,)‘(𝐺𝐽)) = ((1st ‘(𝐺𝐽))(,)(2nd ‘(𝐺𝐽))))
26 ioossre 12177 . . . . . . . . . . . . 13 ((1st ‘(𝐺𝐽))(,)(2nd ‘(𝐺𝐽))) ⊆ ℝ
2725, 26syl6eqss 3634 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((,)‘(𝐺𝐽)) ⊆ ℝ)
2825fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol*‘((,)‘(𝐺𝐽))) = (vol*‘((1st ‘(𝐺𝐽))(,)(2nd ‘(𝐺𝐽)))))
29 ovolfcl 23142 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((1st ‘(𝐺𝐽)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐺𝐽)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐺𝐽)) ≤ (2nd ‘(𝐺𝐽))))
3011, 29sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((1st ‘(𝐺𝐽)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐺𝐽)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐺𝐽)) ≤ (2nd ‘(𝐺𝐽))))
31 ovolioo 23243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1st ‘(𝐺𝐽)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐺𝐽)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐺𝐽)) ≤ (2nd ‘(𝐺𝐽))) → (vol*‘((1st ‘(𝐺𝐽))(,)(2nd ‘(𝐺𝐽)))) = ((2nd ‘(𝐺𝐽)) − (1st ‘(𝐺𝐽))))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol*‘((1st ‘(𝐺𝐽))(,)(2nd ‘(𝐺𝐽)))) = ((2nd ‘(𝐺𝐽)) − (1st ‘(𝐺𝐽))))
3328, 32eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol*‘((,)‘(𝐺𝐽))) = ((2nd ‘(𝐺𝐽)) − (1st ‘(𝐺𝐽))))
3430simp2d 1072 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (2nd ‘(𝐺𝐽)) ∈ ℝ)
3530simp1d 1071 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (1st ‘(𝐺𝐽)) ∈ ℝ)
3634, 35resubcld 10402 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((2nd ‘(𝐺𝐽)) − (1st ‘(𝐺𝐽))) ∈ ℝ)
3733, 36eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol*‘((,)‘(𝐺𝐽))) ∈ ℝ)
38 ovolsscl 23161 . . . . . . . . . . . 12 (((((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ⊆ ((,)‘(𝐺𝐽)) ∧ ((,)‘(𝐺𝐽)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘((,)‘(𝐺𝐽))) ∈ ℝ) → (vol*‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ ℝ)
3917, 27, 37, 38syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol*‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ ℝ)
4039adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (vol*‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ ℝ)
41 uniioombllem2.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
4241ioorcl 23251 . . . . . . . . . 10 (((((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ∈ ran (,) ∧ (vol*‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ ℝ) → (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
4315, 40, 42syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
44 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))) = (𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))
4543, 44fmptd 6340 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))):ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
46 uniioombllem2.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (𝑧 ∈ ℕ ↦ (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
4746a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝐻 = (𝑧 ∈ ℕ ↦ (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))
4841ioorf 23247 . . . . . . . . . . . 12 𝐾:ran (,)⟶( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))
4948a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝐾:ran (,)⟶( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
5049feqmptd 6206 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝐾 = (𝑦 ∈ ran (,) ↦ (𝐾𝑦)))
51 fveq2 6148 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) → (𝐾𝑦) = (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))
5215, 47, 50, 51fmptco 6351 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (𝐾𝐻) = (𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))))
5352feq1d 5987 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐾𝐻):ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))):ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))))
5445, 53mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (𝐾𝐻):ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
55 eqid 2621 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)) = ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))
5655ovolfsf 23147 . . . . . . 7 ((𝐾𝐻):ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)):ℕ⟶(0[,)+∞))
5754, 56syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)):ℕ⟶(0[,)+∞))
5857ffvelrnda 6315 . . . . 5 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛) ∈ (0[,)+∞))
59 elrege0 12220 . . . . 5 ((((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛)))
6058, 59sylib 208 . . . 4 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛)))
6160simpld 475 . . 3 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛) ∈ ℝ)
6260simprd 479 . . 3 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛))
6352fveq1d 6150 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐾𝐻)‘𝑧) = ((𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))‘𝑧))
64 fvex 6158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ V
6544fvmpt2 6248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ V) → ((𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))‘𝑧) = (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))
6664, 65mpan2 706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))‘𝑧) = (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))
6763, 66sylan9eq 2675 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝐾𝐻)‘𝑧) = (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))
6867fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑧)) = ((,)‘(𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))))
6941ioorinv 23250 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ∈ ran (,) → ((,)‘(𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))) = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
7015, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((,)‘(𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))) = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
7168, 70eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑧)) = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
7271ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ∀𝑧 ∈ ℕ ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑧)) = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
73 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → ((𝐾𝐻)‘𝑧) = ((𝐾𝐻)‘𝑥))
7473fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑥 → ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑧)) = ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥)))
75 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑥))
7675fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → ((,)‘(𝐹𝑧)) = ((,)‘(𝐹𝑥)))
7776ineq1d 3791 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑥 → (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) = (((,)‘(𝐹𝑥)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
7874, 77eqeq12d 2636 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑥 → (((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑧)) = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ↔ ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥)) = (((,)‘(𝐹𝑥)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))
7978rspccva 3294 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑧 ∈ ℕ ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑧)) = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥)) = (((,)‘(𝐹𝑥)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
8072, 79sylan 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥)) = (((,)‘(𝐹𝑥)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
81 inss1 3811 . . . . . . . . . 10 (((,)‘(𝐹𝑥)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ⊆ ((,)‘(𝐹𝑥))
8280, 81syl6eqss 3634 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥)) ⊆ ((,)‘(𝐹𝑥)))
8382ralrimiva 2960 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℕ ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥)) ⊆ ((,)‘(𝐹𝑥)))
846adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)))
85 disjss2 4586 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ℕ ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥)) ⊆ ((,)‘(𝐹𝑥)) → (Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)) → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥))))
8683, 84, 85sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥)))
8754, 86, 2uniioovol 23253 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol*‘ ran ((,) ∘ (𝐾𝐻))) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ))
8870mpteq2dva 4704 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ ℕ ↦ ((,)‘(𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))) = (𝑧 ∈ ℕ ↦ (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))
89 rexpssxrxp 10028 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
9018, 89sstri 3592 . . . . . . . . . . . . 13 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
9190, 43sseldi 3581 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ (ℝ* × ℝ*))
92 ioof 12213 . . . . . . . . . . . . . 14 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ)
9493feqmptd 6206 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (,) = (𝑦 ∈ (ℝ* × ℝ*) ↦ ((,)‘𝑦)))
95 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) → ((,)‘𝑦) = ((,)‘(𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))))
9691, 52, 94, 95fmptco 6351 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((,) ∘ (𝐾𝐻)) = (𝑧 ∈ ℕ ↦ ((,)‘(𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))))
9788, 96, 473eqtr4d 2665 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((,) ∘ (𝐾𝐻)) = 𝐻)
9897rneqd 5313 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ran ((,) ∘ (𝐾𝐻)) = ran 𝐻)
9998unieqd 4412 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ran ((,) ∘ (𝐾𝐻)) = ran 𝐻)
100 fvex 6158 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,)‘(𝐹𝑧)) ∈ V
101100inex1 4759 . . . . . . . . . . . . 13 (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ∈ V
10246fvmpt2 6248 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ∈ V) → (𝐻𝑧) = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
103101, 102mpan2 706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℕ → (𝐻𝑧) = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
104 incom 3783 . . . . . . . . . . . 12 (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) = (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ ((,)‘(𝐹𝑧)))
105103, 104syl6eq 2671 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ → (𝐻𝑧) = (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ ((,)‘(𝐹𝑧))))
106105iuneq2i 4505 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ ℕ (𝐻𝑧) = 𝑧 ∈ ℕ (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ ((,)‘(𝐹𝑧)))
107 iunin2 4550 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ ℕ (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ ((,)‘(𝐹𝑧))) = (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝑧 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑧)))
108106, 107eqtri 2643 . . . . . . . . 9 𝑧 ∈ ℕ (𝐻𝑧) = (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝑧 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑧)))
10915, 46fmptd 6340 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝐻:ℕ⟶ran (,))
110 ffn 6002 . . . . . . . . . . 11 (𝐻:ℕ⟶ran (,) → 𝐻 Fn ℕ)
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝐻 Fn ℕ)
112 fniunfv 6459 . . . . . . . . . 10 (𝐻 Fn ℕ → 𝑧 ∈ ℕ (𝐻𝑧) = ran 𝐻)
113111, 112syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ (𝐻𝑧) = ran 𝐻)
114108, 113syl5eqr 2669 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝑧 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑧))) = ran 𝐻)
1155adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
116 fvco3 6232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (((,) ∘ 𝐹)‘𝑧) = ((,)‘(𝐹𝑧)))
117115, 116sylan 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (((,) ∘ 𝐹)‘𝑧) = ((,)‘(𝐹𝑧)))
118117iuneq2dv 4508 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ (((,) ∘ 𝐹)‘𝑧) = 𝑧 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑧)))
119 ffn 6002 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
12092, 119ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
121 fss 6013 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
122115, 90, 121sylancl 693 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
123 fnfco 6026 . . . . . . . . . . . . 13 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*)) → ((,) ∘ 𝐹) Fn ℕ)
124120, 122, 123sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((,) ∘ 𝐹) Fn ℕ)
125 fniunfv 6459 . . . . . . . . . . . 12 (((,) ∘ 𝐹) Fn ℕ → 𝑧 ∈ ℕ (((,) ∘ 𝐹)‘𝑧) = ran ((,) ∘ 𝐹))
126124, 125syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ (((,) ∘ 𝐹)‘𝑧) = ran ((,) ∘ 𝐹))
127126, 8syl6eqr 2673 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ (((,) ∘ 𝐹)‘𝑧) = 𝐴)
128118, 127eqtr3d 2657 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑧)) = 𝐴)
129128ineq2d 3792 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝑧 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑧))) = (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴))
13099, 114, 1293eqtr2d 2661 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ran ((,) ∘ (𝐾𝐻)) = (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴))
131130fveq2d 6152 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol*‘ ran ((,) ∘ (𝐾𝐻))) = (vol*‘(((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴)))
13287, 131eqtr3d 2657 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ) = (vol*‘(((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴)))
133 inss1 3811 . . . . . . 7 (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴) ⊆ ((,)‘(𝐺𝐽))
134133a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴) ⊆ ((,)‘(𝐺𝐽)))
135 ovolsscl 23161 . . . . . 6 (((((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴) ⊆ ((,)‘(𝐺𝐽)) ∧ ((,)‘(𝐺𝐽)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘((,)‘(𝐺𝐽))) ∈ ℝ) → (vol*‘(((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
136134, 27, 37, 135syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol*‘(((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
137132, 136eqeltrd 2698 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
13855, 2ovolsf 23148 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝐻):ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))):ℕ⟶(0[,)+∞))
13954, 138syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))):ℕ⟶(0[,)+∞))
140 ffn 6002 . . . . . . . 8 (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))):ℕ⟶(0[,)+∞) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) Fn ℕ)
141139, 140syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) Fn ℕ)
142 fnfvelrn 6312 . . . . . . 7 ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) Fn ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))))
143141, 142sylan 488 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))))
144 frn 6010 . . . . . . . . 9 (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))):ℕ⟶(0[,)+∞) → ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ⊆ (0[,)+∞))
145139, 144syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ⊆ (0[,)+∞))
146 icossxr 12200 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
147145, 146syl6ss 3595 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ⊆ ℝ*)
148 supxrub 12097 . . . . . . 7 ((ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ⊆ ℝ* ∧ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ))
149147, 148sylan 488 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ))
150143, 149syldan 487 . . . . 5 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ))
151150ralrimiva 2960 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℕ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ))
152 breq2 4617 . . . . . 6 (𝑥 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ) → ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ 𝑥 ↔ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < )))
153152ralbidv 2980 . . . . 5 (𝑥 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ) → (∀𝑦 ∈ ℕ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < )))
154153rspcev 3295 . . . 4 ((sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℕ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ 𝑥)
155137, 151, 154syl2anc 692 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℕ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ 𝑥)
1561, 2, 3, 4, 61, 62, 155isumsup2 14503 . 2 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ⇝ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ, < ))
15755ovolfs2 23245 . . . . 5 ((𝐾𝐻):ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)) = ((vol* ∘ (,)) ∘ (𝐾𝐻)))
15854, 157syl 17 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)) = ((vol* ∘ (,)) ∘ (𝐾𝐻)))
159 coass 5613 . . . . 5 ((vol* ∘ (,)) ∘ (𝐾𝐻)) = (vol* ∘ ((,) ∘ (𝐾𝐻)))
16097coeq2d 5244 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol* ∘ ((,) ∘ (𝐾𝐻))) = (vol* ∘ 𝐻))
161159, 160syl5eq 2667 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((vol* ∘ (,)) ∘ (𝐾𝐻)) = (vol* ∘ 𝐻))
162158, 161eqtrd 2655 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)) = (vol* ∘ 𝐻))
163162seqeq3d 12749 . 2 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) = seq1( + , (vol* ∘ 𝐻)))
164 rge0ssre 12222 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
165145, 164syl6ss 3595 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ⊆ ℝ)
166 1nn 10975 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
167 fdm 6008 . . . . . . . 8 (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))):ℕ⟶(0[,)+∞) → dom seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) = ℕ)
168139, 167syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → dom seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) = ℕ)
169166, 168syl5eleqr 2705 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 1 ∈ dom seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))))
170 ne0i 3897 . . . . . 6 (1 ∈ dom seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) → dom seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ≠ ∅)
171169, 170syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → dom seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ≠ ∅)
172 dm0rn0 5302 . . . . . 6 (dom seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) = ∅ ↔ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) = ∅)
173172necon3bii 2842 . . . . 5 (dom seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ≠ ∅ ↔ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ≠ ∅)
174171, 173sylib 208 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ≠ ∅)
175 breq1 4616 . . . . . . . 8 (𝑧 = (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) → (𝑧𝑥 ↔ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ 𝑥))
176175ralrn 6318 . . . . . . 7 (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))𝑧𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ 𝑥))
177141, 176syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (∀𝑧 ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))𝑧𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ 𝑥))
178177rexbidv 3045 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))𝑧𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℕ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ 𝑥))
179155, 178mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))𝑧𝑥)
180 supxrre 12100 . . . 4 ((ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ⊆ ℝ ∧ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))𝑧𝑥) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ, < ))
181165, 174, 179, 180syl3anc 1323 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ, < ))
182181, 132eqtr3d 2657 . 2 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ, < ) = (vol*‘(((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴)))
183156, 163, 1823brtr3d 4644 1 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → seq1( + , (vol* ∘ 𝐻)) ⇝ (vol*‘(((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186  cin 3554  wss 3555  c0 3891  ifcif 4058  𝒫 cpw 4130  cop 4154   cuni 4402   ciun 4485  Disj wdisj 4583   class class class wbr 4613  cmpt 4673   × cxp 5072  dom cdm 5074  ran crn 5075  ccom 5078   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  1st c1st 7111  2nd c2nd 7112  supcsup 8290  infcinf 8291  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883  +∞cpnf 10015  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210  cn 10964  +crp 11776  (,)cioo 12117  [,)cico 12119  seqcseq 12741  abscabs 13908  cli 14149  vol*covol 23138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-rest 16004  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-cmp 21100  df-ovol 23140  df-vol 23141
This theorem is referenced by:  uniioombllem6  23262
  Copyright terms: Public domain W3C validator