MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioombllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniioombllem2 23549
Description: Lemma for uniioombl 23555. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.2 (𝜑Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)))
uniioombl.3 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
uniioombl.a 𝐴 = ran ((,) ∘ 𝐹)
uniioombl.e (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
uniioombl.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
uniioombl.g (𝜑𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.s (𝜑𝐸 ran ((,) ∘ 𝐺))
uniioombl.t 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
uniioombl.v (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
uniioombllem2.h 𝐻 = (𝑧 ∈ ℕ ↦ (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
uniioombllem2.k 𝐾 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
Assertion
Ref Expression
uniioombllem2 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → seq1( + , (vol* ∘ 𝐻)) ⇝ (vol*‘(((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐹   𝑥,𝐺,𝑧   𝑥,𝐾,𝑧   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐶,𝑧   𝑥,𝐻,𝑧   𝑥,𝐽,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧   𝑥,𝑇,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑧)   𝐸(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem uniioombllem2
Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11914 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 eqid 2758 . . 3 seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))
3 1zzd 11598 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
4 eqidd 2759 . . 3 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛) = (((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛))
5 uniioombl.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
6 uniioombl.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)))
7 uniioombl.3 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
8 uniioombl.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = ran ((,) ∘ 𝐹)
9 uniioombl.e . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
10 uniioombl.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
11 uniioombl.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
12 uniioombl.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ran ((,) ∘ 𝐺))
13 uniioombl.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
14 uniioombl.v . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
155, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14uniioombllem2a 23548 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ∈ ran (,))
16 inss2 3975 . . . . . . . . . . . . 13 (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ⊆ ((,)‘(𝐺𝐽))
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ⊆ ((,)‘(𝐺𝐽)))
18 inss2 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
1911ffvelrnda 6520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (𝐺𝐽) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2018, 19sseldi 3740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (𝐺𝐽) ∈ (ℝ × ℝ))
21 1st2nd2 7370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺𝐽) ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺𝐽) = ⟨(1st ‘(𝐺𝐽)), (2nd ‘(𝐺𝐽))⟩)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (𝐺𝐽) = ⟨(1st ‘(𝐺𝐽)), (2nd ‘(𝐺𝐽))⟩)
2322fveq2d 6354 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((,)‘(𝐺𝐽)) = ((,)‘⟨(1st ‘(𝐺𝐽)), (2nd ‘(𝐺𝐽))⟩))
24 df-ov 6814 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1st ‘(𝐺𝐽))(,)(2nd ‘(𝐺𝐽))) = ((,)‘⟨(1st ‘(𝐺𝐽)), (2nd ‘(𝐺𝐽))⟩)
2523, 24syl6eqr 2810 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((,)‘(𝐺𝐽)) = ((1st ‘(𝐺𝐽))(,)(2nd ‘(𝐺𝐽))))
26 ioossre 12426 . . . . . . . . . . . . 13 ((1st ‘(𝐺𝐽))(,)(2nd ‘(𝐺𝐽))) ⊆ ℝ
2725, 26syl6eqss 3794 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((,)‘(𝐺𝐽)) ⊆ ℝ)
2825fveq2d 6354 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol*‘((,)‘(𝐺𝐽))) = (vol*‘((1st ‘(𝐺𝐽))(,)(2nd ‘(𝐺𝐽)))))
29 ovolfcl 23433 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((1st ‘(𝐺𝐽)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐺𝐽)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐺𝐽)) ≤ (2nd ‘(𝐺𝐽))))
3011, 29sylan 489 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((1st ‘(𝐺𝐽)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐺𝐽)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐺𝐽)) ≤ (2nd ‘(𝐺𝐽))))
31 ovolioo 23534 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1st ‘(𝐺𝐽)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐺𝐽)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐺𝐽)) ≤ (2nd ‘(𝐺𝐽))) → (vol*‘((1st ‘(𝐺𝐽))(,)(2nd ‘(𝐺𝐽)))) = ((2nd ‘(𝐺𝐽)) − (1st ‘(𝐺𝐽))))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol*‘((1st ‘(𝐺𝐽))(,)(2nd ‘(𝐺𝐽)))) = ((2nd ‘(𝐺𝐽)) − (1st ‘(𝐺𝐽))))
3328, 32eqtrd 2792 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol*‘((,)‘(𝐺𝐽))) = ((2nd ‘(𝐺𝐽)) − (1st ‘(𝐺𝐽))))
3430simp2d 1138 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (2nd ‘(𝐺𝐽)) ∈ ℝ)
3530simp1d 1137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (1st ‘(𝐺𝐽)) ∈ ℝ)
3634, 35resubcld 10648 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((2nd ‘(𝐺𝐽)) − (1st ‘(𝐺𝐽))) ∈ ℝ)
3733, 36eqeltrd 2837 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol*‘((,)‘(𝐺𝐽))) ∈ ℝ)
38 ovolsscl 23452 . . . . . . . . . . . 12 (((((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ⊆ ((,)‘(𝐺𝐽)) ∧ ((,)‘(𝐺𝐽)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘((,)‘(𝐺𝐽))) ∈ ℝ) → (vol*‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ ℝ)
3917, 27, 37, 38syl3anc 1477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol*‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ ℝ)
4039adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (vol*‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ ℝ)
41 uniioombllem2.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
4241ioorcl 23543 . . . . . . . . . 10 (((((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ∈ ran (,) ∧ (vol*‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ ℝ) → (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
4315, 40, 42syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
44 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))) = (𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))
4543, 44fmptd 6546 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))):ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
46 uniioombllem2.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (𝑧 ∈ ℕ ↦ (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
4746a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝐻 = (𝑧 ∈ ℕ ↦ (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))
4841ioorf 23539 . . . . . . . . . . . 12 𝐾:ran (,)⟶( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))
4948a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝐾:ran (,)⟶( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
5049feqmptd 6409 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝐾 = (𝑦 ∈ ran (,) ↦ (𝐾𝑦)))
51 fveq2 6350 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) → (𝐾𝑦) = (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))
5215, 47, 50, 51fmptco 6557 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (𝐾𝐻) = (𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))))
5352feq1d 6189 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐾𝐻):ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))):ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))))
5445, 53mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (𝐾𝐻):ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
55 eqid 2758 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)) = ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))
5655ovolfsf 23438 . . . . . . 7 ((𝐾𝐻):ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)):ℕ⟶(0[,)+∞))
5754, 56syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)):ℕ⟶(0[,)+∞))
5857ffvelrnda 6520 . . . . 5 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛) ∈ (0[,)+∞))
59 elrege0 12469 . . . . 5 ((((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛)))
6058, 59sylib 208 . . . 4 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛)))
6160simpld 477 . . 3 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛) ∈ ℝ)
6260simprd 482 . . 3 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛))
6352fveq1d 6352 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐾𝐻)‘𝑧) = ((𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))‘𝑧))
64 fvex 6360 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ V
6544fvmpt2 6451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ V) → ((𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))‘𝑧) = (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))
6664, 65mpan2 709 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))‘𝑧) = (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))
6763, 66sylan9eq 2812 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝐾𝐻)‘𝑧) = (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))
6867fveq2d 6354 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑧)) = ((,)‘(𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))))
6941ioorinv 23542 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ∈ ran (,) → ((,)‘(𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))) = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
7015, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((,)‘(𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))) = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
7168, 70eqtrd 2792 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑧)) = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
7271ralrimiva 3102 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ∀𝑧 ∈ ℕ ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑧)) = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
73 fveq2 6350 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → ((𝐾𝐻)‘𝑧) = ((𝐾𝐻)‘𝑥))
7473fveq2d 6354 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑥 → ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑧)) = ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥)))
75 fveq2 6350 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑥))
7675fveq2d 6354 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → ((,)‘(𝐹𝑧)) = ((,)‘(𝐹𝑥)))
7776ineq1d 3954 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑥 → (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) = (((,)‘(𝐹𝑥)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
7874, 77eqeq12d 2773 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑥 → (((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑧)) = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ↔ ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥)) = (((,)‘(𝐹𝑥)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))
7978rspccva 3446 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑧 ∈ ℕ ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑧)) = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥)) = (((,)‘(𝐹𝑥)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
8072, 79sylan 489 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥)) = (((,)‘(𝐹𝑥)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
81 inss1 3974 . . . . . . . . . 10 (((,)‘(𝐹𝑥)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ⊆ ((,)‘(𝐹𝑥))
8280, 81syl6eqss 3794 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥)) ⊆ ((,)‘(𝐹𝑥)))
8382ralrimiva 3102 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℕ ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥)) ⊆ ((,)‘(𝐹𝑥)))
846adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)))
85 disjss2 4773 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ℕ ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥)) ⊆ ((,)‘(𝐹𝑥)) → (Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)) → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥))))
8683, 84, 85sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥)))
8754, 86, 2uniioovol 23545 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol*‘ ran ((,) ∘ (𝐾𝐻))) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ))
8870mpteq2dva 4894 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ ℕ ↦ ((,)‘(𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))) = (𝑧 ∈ ℕ ↦ (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))
89 rexpssxrxp 10274 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
9018, 89sstri 3751 . . . . . . . . . . . . 13 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
9190, 43sseldi 3740 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ (ℝ* × ℝ*))
92 ioof 12462 . . . . . . . . . . . . . 14 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ)
9493feqmptd 6409 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (,) = (𝑦 ∈ (ℝ* × ℝ*) ↦ ((,)‘𝑦)))
95 fveq2 6350 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) → ((,)‘𝑦) = ((,)‘(𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))))
9691, 52, 94, 95fmptco 6557 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((,) ∘ (𝐾𝐻)) = (𝑧 ∈ ℕ ↦ ((,)‘(𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))))
9788, 96, 473eqtr4d 2802 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((,) ∘ (𝐾𝐻)) = 𝐻)
9897rneqd 5506 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ran ((,) ∘ (𝐾𝐻)) = ran 𝐻)
9998unieqd 4596 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ran ((,) ∘ (𝐾𝐻)) = ran 𝐻)
100 fvex 6360 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,)‘(𝐹𝑧)) ∈ V
101100inex1 4949 . . . . . . . . . . . . 13 (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ∈ V
10246fvmpt2 6451 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ∈ V) → (𝐻𝑧) = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
103101, 102mpan2 709 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℕ → (𝐻𝑧) = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
104 incom 3946 . . . . . . . . . . . 12 (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) = (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ ((,)‘(𝐹𝑧)))
105103, 104syl6eq 2808 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ → (𝐻𝑧) = (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ ((,)‘(𝐹𝑧))))
106105iuneq2i 4689 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ ℕ (𝐻𝑧) = 𝑧 ∈ ℕ (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ ((,)‘(𝐹𝑧)))
107 iunin2 4734 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ ℕ (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ ((,)‘(𝐹𝑧))) = (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝑧 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑧)))
108106, 107eqtri 2780 . . . . . . . . 9 𝑧 ∈ ℕ (𝐻𝑧) = (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝑧 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑧)))
10915, 46fmptd 6546 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝐻:ℕ⟶ran (,))
110 ffn 6204 . . . . . . . . . . 11 (𝐻:ℕ⟶ran (,) → 𝐻 Fn ℕ)
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝐻 Fn ℕ)
112 fniunfv 6666 . . . . . . . . . 10 (𝐻 Fn ℕ → 𝑧 ∈ ℕ (𝐻𝑧) = ran 𝐻)
113111, 112syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ (𝐻𝑧) = ran 𝐻)
114108, 113syl5eqr 2806 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝑧 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑧))) = ran 𝐻)
1155adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
116 fvco3 6435 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (((,) ∘ 𝐹)‘𝑧) = ((,)‘(𝐹𝑧)))
117115, 116sylan 489 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (((,) ∘ 𝐹)‘𝑧) = ((,)‘(𝐹𝑧)))
118117iuneq2dv 4692 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ (((,) ∘ 𝐹)‘𝑧) = 𝑧 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑧)))
119 ffn 6204 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
12092, 119ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
121 fss 6215 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
122115, 90, 121sylancl 697 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
123 fnfco 6228 . . . . . . . . . . . . 13 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*)) → ((,) ∘ 𝐹) Fn ℕ)
124120, 122, 123sylancr 698 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((,) ∘ 𝐹) Fn ℕ)
125 fniunfv 6666 . . . . . . . . . . . 12 (((,) ∘ 𝐹) Fn ℕ → 𝑧 ∈ ℕ (((,) ∘ 𝐹)‘𝑧) = ran ((,) ∘ 𝐹))
126124, 125syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ (((,) ∘ 𝐹)‘𝑧) = ran ((,) ∘ 𝐹))
127126, 8syl6eqr 2810 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ (((,) ∘ 𝐹)‘𝑧) = 𝐴)
128118, 127eqtr3d 2794 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑧)) = 𝐴)
129128ineq2d 3955 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝑧 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑧))) = (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴))
13099, 114, 1293eqtr2d 2798 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ran ((,) ∘ (𝐾𝐻)) = (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴))
131130fveq2d 6354 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol*‘ ran ((,) ∘ (𝐾𝐻))) = (vol*‘(((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴)))
13287, 131eqtr3d 2794 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ) = (vol*‘(((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴)))
133 inss1 3974 . . . . . . 7 (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴) ⊆ ((,)‘(𝐺𝐽))
134133a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴) ⊆ ((,)‘(𝐺𝐽)))
135 ovolsscl 23452 . . . . . 6 (((((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴) ⊆ ((,)‘(𝐺𝐽)) ∧ ((,)‘(𝐺𝐽)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘((,)‘(𝐺𝐽))) ∈ ℝ) → (vol*‘(((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
136134, 27, 37, 135syl3anc 1477 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol*‘(((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
137132, 136eqeltrd 2837 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
13855, 2ovolsf 23439 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝐻):ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))):ℕ⟶(0[,)+∞))
13954, 138syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))):ℕ⟶(0[,)+∞))
140 ffn 6204 . . . . . . . 8 (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))):ℕ⟶(0[,)+∞) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) Fn ℕ)
141139, 140syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) Fn ℕ)
142 fnfvelrn 6517 . . . . . . 7 ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) Fn ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))))
143141, 142sylan 489 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))))
144 frn 6212 . . . . . . . . 9 (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))):ℕ⟶(0[,)+∞) → ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ⊆ (0[,)+∞))
145139, 144syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ⊆ (0[,)+∞))
146 icossxr 12449 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
147145, 146syl6ss 3754 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ⊆ ℝ*)
148 supxrub 12345 . . . . . . 7 ((ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ⊆ ℝ* ∧ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ))
149147, 148sylan 489 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ))
150143, 149syldan 488 . . . . 5 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ))
151150ralrimiva 3102 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℕ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ))
152 breq2 4806 . . . . . 6 (𝑥 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ) → ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ 𝑥 ↔ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < )))
153152ralbidv 3122 . . . . 5 (𝑥 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ) → (∀𝑦 ∈ ℕ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < )))
154153rspcev 3447 . . . 4 ((sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℕ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ 𝑥)
155137, 151, 154syl2anc 696 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℕ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ 𝑥)
1561, 2, 3, 4, 61, 62, 155isumsup2 14775 . 2 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ⇝ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ, < ))
15755ovolfs2 23537 . . . . 5 ((𝐾𝐻):ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)) = ((vol* ∘ (,)) ∘ (𝐾𝐻)))
15854, 157syl 17 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)) = ((vol* ∘ (,)) ∘ (𝐾𝐻)))
159 coass 5813 . . . . 5 ((vol* ∘ (,)) ∘ (𝐾𝐻)) = (vol* ∘ ((,) ∘ (𝐾𝐻)))
16097coeq2d 5438 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol* ∘ ((,) ∘ (𝐾𝐻))) = (vol* ∘ 𝐻))
161159, 160syl5eq 2804 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((vol* ∘ (,)) ∘ (𝐾𝐻)) = (vol* ∘ 𝐻))
162158, 161eqtrd 2792 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)) = (vol* ∘ 𝐻))
163162seqeq3d 13001 . 2 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) = seq1( + , (vol* ∘ 𝐻)))
164 rge0ssre 12471 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
165145, 164syl6ss 3754 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ⊆ ℝ)
166 1nn 11221 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
167 fdm 6210 . . . . . . . 8 (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))):ℕ⟶(0[,)+∞) → dom seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) = ℕ)
168139, 167syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → dom seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) = ℕ)
169166, 168syl5eleqr 2844 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 1 ∈ dom seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))))
170 ne0i 4062 . . . . . 6 (1 ∈ dom seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) → dom seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ≠ ∅)
171169, 170syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → dom seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ≠ ∅)
172 dm0rn0 5495 . . . . . 6 (dom seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) = ∅ ↔ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) = ∅)
173172necon3bii 2982 . . . . 5 (dom seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ≠ ∅ ↔ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ≠ ∅)
174171, 173sylib 208 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ≠ ∅)
175 breq1 4805 . . . . . . . 8 (𝑧 = (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) → (𝑧𝑥 ↔ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ 𝑥))
176175ralrn 6523 . . . . . . 7 (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))𝑧𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ 𝑥))
177141, 176syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (∀𝑧 ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))𝑧𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ 𝑥))
178177rexbidv 3188 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))𝑧𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℕ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ 𝑥))
179155, 178mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))𝑧𝑥)
180 supxrre 12348 . . . 4 ((ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ⊆ ℝ ∧ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))𝑧𝑥) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ, < ))
181165, 174, 179, 180syl3anc 1477 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ, < ))
182181, 132eqtr3d 2794 . 2 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ, < ) = (vol*‘(((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴)))
183156, 163, 1823brtr3d 4833 1 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → seq1( + , (vol* ∘ 𝐻)) ⇝ (vol*‘(((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1630  wcel 2137  wne 2930  wral 3048  wrex 3049  Vcvv 3338  cin 3712  wss 3713  c0 4056  ifcif 4228  𝒫 cpw 4300  cop 4325   cuni 4586   ciun 4670  Disj wdisj 4770   class class class wbr 4802  cmpt 4879   × cxp 5262  dom cdm 5264  ran crn 5265  ccom 5268   Fn wfn 6042  wf 6043  cfv 6047  (class class class)co 6811  1st c1st 7329  2nd c2nd 7330  supcsup 8509  infcinf 8510  cr 10125  0cc0 10126  1c1 10127   + caddc 10129  +∞cpnf 10261  *cxr 10263   < clt 10264  cle 10265  cmin 10456  cn 11210  +crp 12023  (,)cioo 12366  [,)cico 12368  seqcseq 12993  abscabs 14171  cli 14412  vol*covol 23429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-inf2 8709  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-disj 4771  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-se 5224  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-isom 6056  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-of 7060  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-2o 7728  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-pm 8024  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-fi 8480  df-sup 8511  df-inf 8512  df-oi 8578  df-card 8953  df-cda 9180  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-q 11980  df-rp 12024  df-xneg 12137  df-xadd 12138  df-xmul 12139  df-ioo 12370  df-ico 12372  df-icc 12373  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-fl 12785  df-seq 12994  df-exp 13053  df-hash 13310  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-clim 14416  df-rlim 14417  df-sum 14614  df-rest 16283  df-topgen 16304  df-psmet 19938  df-xmet 19939  df-met 19940  df-bl 19941  df-mopn 19942  df-top 20899  df-topon 20916  df-bases 20950  df-cmp 21390  df-ovol 23431  df-vol 23432
This theorem is referenced by:  uniioombllem6  23554
  Copyright terms: Public domain W3C validator