Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioorcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorcl 23258
 Description: The function 𝐹 does not always return real numbers, but it does on intervals of finite volume. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ioorf.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
Assertion
Ref Expression
ioorcl ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐹𝐴) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem ioorcl
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3813 . . 3 ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)) ⊆ ≤
2 ioorf.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
32ioorf 23254 . . . . 5 𝐹:ran (,)⟶( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))
43ffvelrni 6316 . . . 4 (𝐴 ∈ ran (,) → (𝐹𝐴) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
54adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐹𝐴) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
61, 5sseldi 3582 . 2 ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐹𝐴) ∈ ≤ )
72ioorval 23255 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ran (,) → (𝐹𝐴) = if(𝐴 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝐴, ℝ*, < ), sup(𝐴, ℝ*, < )⟩))
87adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐹𝐴) = if(𝐴 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝐴, ℝ*, < ), sup(𝐴, ℝ*, < )⟩))
9 iftrue 4066 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → if(𝐴 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝐴, ℝ*, < ), sup(𝐴, ℝ*, < )⟩) = ⟨0, 0⟩)
108, 9sylan9eq 2675 . . . 4 (((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐹𝐴) = ⟨0, 0⟩)
11 0re 9987 . . . . 5 0 ∈ ℝ
12 opelxpi 5110 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
1311, 11, 12mp2an 707 . . . 4 ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ × ℝ)
1410, 13syl6eqel 2706 . . 3 (((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐹𝐴) ∈ (ℝ × ℝ))
15 ioof 12216 . . . . . 6 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
16 ffn 6004 . . . . . 6 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
17 ovelrn 6766 . . . . . 6 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝐴 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏)))
1815, 16, 17mp2b 10 . . . . 5 (𝐴 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏))
192ioorinv2 23256 . . . . . . . . . 10 ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)) = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
2019adantl 482 . . . . . . . . 9 (((vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)) = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
21 ioorcl2 23253 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ∧ (vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
2221ancoms 469 . . . . . . . . . 10 (((vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
23 opelxpi 5110 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (((vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
2520, 24eqeltrd 2698 . . . . . . . 8 (((vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ (ℝ × ℝ))
26 fveq2 6150 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (vol*‘𝐴) = (vol*‘(𝑎(,)𝑏)))
2726eleq1d 2683 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ↔ (vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ))
28 neeq1 2852 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅))
2927, 28anbi12d 746 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ((vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅)))
30 fveq2 6150 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (𝐹𝐴) = (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)))
3130eleq1d 2683 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝐹𝐴) ∈ (ℝ × ℝ) ↔ (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ (ℝ × ℝ)))
3229, 31imbi12d 334 . . . . . . . 8 (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → ((((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹𝐴) ∈ (ℝ × ℝ)) ↔ (((vol*‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝐹‘(𝑎(,)𝑏)) ∈ (ℝ × ℝ))))
3325, 32mpbiri 248 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹𝐴) ∈ (ℝ × ℝ)))
3433a1i 11 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹𝐴) ∈ (ℝ × ℝ))))
3534rexlimivv 3029 . . . . 5 (∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑎(,)𝑏) → (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹𝐴) ∈ (ℝ × ℝ)))
3618, 35sylbi 207 . . . 4 (𝐴 ∈ ran (,) → (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹𝐴) ∈ (ℝ × ℝ)))
3736impl 649 . . 3 (((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹𝐴) ∈ (ℝ × ℝ))
3814, 37pm2.61dane 2877 . 2 ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐹𝐴) ∈ (ℝ × ℝ))
396, 38elind 3778 1 ((𝐴 ∈ ran (,) ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐹𝐴) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∃wrex 2908   ∩ cin 3555  ∅c0 3893  ifcif 4060  𝒫 cpw 4132  ⟨cop 4156   ↦ cmpt 4675   × cxp 5074  ran crn 5077   Fn wfn 5844  ⟶wf 5845  ‘cfv 5849  (class class class)co 6607  supcsup 8293  infcinf 8294  ℝcr 9882  0cc0 9883  ℝ*cxr 10020   < clt 10021   ≤ cle 10022  (,)cioo 12120  vol*covol 23144 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-2o 7509  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-pm 7808  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-fi 8264  df-sup 8295  df-inf 8296  df-oi 8362  df-card 8712  df-cda 8937  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-q 11736  df-rp 11780  df-xneg 11893  df-xadd 11894  df-xmul 11895  df-ioo 12124  df-ico 12126  df-icc 12127  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-fl 12536  df-seq 12745  df-exp 12804  df-hash 13061  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-clim 14156  df-rlim 14157  df-sum 14354  df-rest 16007  df-topgen 16028  df-psmet 19660  df-xmet 19661  df-met 19662  df-bl 19663  df-mopn 19664  df-top 20621  df-topon 20638  df-bases 20664  df-cmp 21103  df-ovol 23146  df-vol 23147 This theorem is referenced by:  uniioombllem2  23264
 Copyright terms: Public domain W3C validator