Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscss2 19962
 Description: It is sufficient to prove that the double orthocomplement is a subset of the target set to show that the set is a closed subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cssss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cssss.c 𝐶 = (CSubSp‘𝑊)
ocvcss.o = (ocv‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
iscss2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝑆𝐶 ↔ ( ‘( 𝑆)) ⊆ 𝑆))

Proof of Theorem iscss2
StepHypRef Expression
1 ocvcss.o . . . 4 = (ocv‘𝑊)
2 cssss.c . . . 4 𝐶 = (CSubSp‘𝑊)
31, 2iscss 19959 . . 3 (𝑊 ∈ PreHil → (𝑆𝐶𝑆 = ( ‘( 𝑆))))
43adantr 481 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝑆𝐶𝑆 = ( ‘( 𝑆))))
5 cssss.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
65, 1ocvocv 19947 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)))
7 eqss 3602 . . . 4 (𝑆 = ( ‘( 𝑆)) ↔ (𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)) ∧ ( ‘( 𝑆)) ⊆ 𝑆))
87baib 943 . . 3 (𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)) → (𝑆 = ( ‘( 𝑆)) ↔ ( ‘( 𝑆)) ⊆ 𝑆))
96, 8syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝑆 = ( ‘( 𝑆)) ↔ ( ‘( 𝑆)) ⊆ 𝑆))
104, 9bitrd 268 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝑆𝐶 ↔ ( ‘( 𝑆)) ⊆ 𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ⊆ wss 3559  ‘cfv 5852  Basecbs 15792  PreHilcphl 19901  ocvcocv 19936  CSubSpccss 19937 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-tpos 7304  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-0g 16034  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-mhm 17267  df-grp 17357  df-ghm 17590  df-mgp 18422  df-ur 18434  df-ring 18481  df-oppr 18555  df-rnghom 18647  df-staf 18777  df-srng 18778  df-lmod 18797  df-lmhm 18954  df-lvec 19035  df-sra 19104  df-rgmod 19105  df-phl 19903  df-ocv 19939  df-css 19940 This theorem is referenced by:  ocvcss  19963  lsmcss  19968  cssmre  19969
 Copyright terms: Public domain W3C validator