Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iunincfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunincfi 38790
Description: Given a sequence of increasing sets, the union of a finite subsequence, is its last element. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iunincfi.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
iunincfi.2 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
Assertion
Ref Expression
iunincfi (𝜑 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛) = (𝐹𝑁))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛

Proof of Theorem iunincfi
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eliun 4495 . . . . . . 7 (𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹𝑛))
21biimpi 206 . . . . . 6 (𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛) → ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹𝑛))
32adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛)) → ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹𝑛))
4 elfzuz3 12289 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑛))
54adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑛))
6 simpll 789 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝜑)
7 elfzuz 12288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
8 fzoss1 12444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑛..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑛..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
109adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → (𝑛..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
11 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁))
1210, 11sseldd 3588 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))
1312adantll 749 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))
14 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)))
1514anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) ↔ (𝜑𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))))
16 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑚))
17 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 + 1) = (𝑚 + 1))
1817fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) = (𝐹‘(𝑚 + 1)))
1916, 18sseq12d 3618 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1))))
2015, 19imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → (((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1))) ↔ ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))))
21 iunincfi.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
2220, 21chvarv 2262 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
236, 13, 22syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
245, 23ssinc 38782 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹𝑁))
25243adant3 1079 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹𝑛)) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹𝑁))
26 simp3 1061 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑛))
2725, 26sseldd 3588 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑁))
28273exp 1261 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑛) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑁))))
2928rexlimdv 3024 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹𝑛) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑁)))
3029imp 445 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑁))
313, 30syldan 487 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑁))
3231ralrimiva 2961 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛)𝑥 ∈ (𝐹𝑁))
33 dfss3 3577 . . 3 ( 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛) ⊆ (𝐹𝑁) ↔ ∀𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛)𝑥 ∈ (𝐹𝑁))
3432, 33sylibr 224 . 2 (𝜑 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛) ⊆ (𝐹𝑁))
35 iunincfi.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
36 eluzfz2 12299 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
3735, 36syl 17 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
38 fveq2 6153 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑁))
3938ssiun2s 4535 . . 3 (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑁) ⊆ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛))
4037, 39syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑁) ⊆ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛))
4134, 40eqssd 3604 1 (𝜑 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛) = (𝐹𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  wss 3559   ciun 4490  cfv 5852  (class class class)co 6610  1c1 9889   + caddc 9891  cuz 11639  ...cfz 12276  ..^cfzo 12414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415
This theorem is referenced by:  meaiuninclem  40030
  Copyright terms: Public domain W3C validator